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不等式的性質(zhì)說課稿

時間：2022-08-11 04:55:48 說課稿我要投稿

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不等式的性質(zhì)說課稿

　　不等式的性質(zhì)說課稿（一）

不等式的性質(zhì)說課稿

　　今天，我說課的題目是魯教版義務(wù)課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書七年級下第十一章第二節(jié)《不等式的基本性質(zhì)》，主要從以下幾個方面進(jìn)行說課：教材分析，教法分析 , 學(xué)法指導(dǎo)，教學(xué)過程設(shè)計，教學(xué)評價。

　　一，教材分析

　　本節(jié)課主要研究不等式的性質(zhì)和簡單應(yīng)用。它是進(jìn)一步學(xué)習(xí)一元一次不等式的基礎(chǔ)。它與前面學(xué)過的等式性質(zhì)有聯(lián)系也有區(qū)別，為滲透類比，分類討論的數(shù)學(xué)思想提供了很好的素材。這節(jié)課在整個教材中起承上啟下的作用。它是繼方程后的又一種代數(shù)形式，繼承了方程的有關(guān)思想，并實現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點和難點，對進(jìn)一步學(xué)習(xí)一次函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用有著及其重大的作用。

　　結(jié)合本節(jié)課的地位和作用，設(shè)計本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下：

　　1、知識目標(biāo)：

　�。�1）探索并掌握不等式的基本性質(zhì)，能解簡單的不等式；

　�。�2）理解不等式與等式性質(zhì)的聯(lián)系與區(qū)別；

　　2、能力目標(biāo)：

　�。�1）通過不等式性質(zhì)的探索，培養(yǎng)學(xué)生的觀察，猜想，分析，歸納，概括的邏輯思維能力：

　�。�2）通過探索過程，滲透類比，分類討論的數(shù)學(xué)思想；

　　3、情感目標(biāo)：

　�。�1）培養(yǎng)學(xué)生的鉆研精神，同時加強同學(xué)間的合作與交流；

　�。�2）讓學(xué)生獲得親自參與探索研究的情感體驗，從而增強學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，

　　（3）通過不等式基本性質(zhì)的學(xué)習(xí)，滲透不等式所具有的內(nèi)在同解變形的數(shù)學(xué)美，激發(fā)學(xué)生探究數(shù)學(xué)美的興趣與激情，從而陶治學(xué)生的數(shù)學(xué)情操。

　　結(jié)合本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，確定本節(jié)課的

　　重點是不等式性質(zhì)及簡單應(yīng)用。

　　難點是不等式性質(zhì)的探索過程及性質(zhì)3的應(yīng)用。

　　為了突出重點，突破難點：采用實物投影儀展示學(xué)生不同層次的思維探索過程，化抽象為具體；用類比，對比的方法化生疏為熟悉，化零散為系統(tǒng)。

　　二，教法分析，教學(xué)手段的選擇：

　　為了體現(xiàn)以學(xué)生為本的課堂教學(xué)理念，在教學(xué)過程中主要采用探索發(fā)現(xiàn)法和啟發(fā)式教學(xué)法，即采取觀察猜測---直觀驗證---推理證明---得出性質(zhì)。在知識的發(fā)生發(fā)展中滲透類比，分類討論的數(shù)學(xué)思想，學(xué)生通過觀察，類比，猜想，驗證，應(yīng)用等一系列探究活動，層層推進(jìn)，環(huán)環(huán)相扣，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性和系統(tǒng)性。為了突破學(xué)生對不等式性質(zhì)3,理解的困難，采取了類比作化抽象為具體的方法來設(shè)置教學(xué)。

　　三、學(xué)法指導(dǎo)：

　　由于七年級學(xué)生有比較強的好奇心，好勝心以及顯示欲。同時經(jīng)過一年初中數(shù)學(xué)的思維鍛煉，已經(jīng)初步具備了提出問題，分析問題和解決問題的能力，基于學(xué)生的以上心理特點及認(rèn)知水平，所以采取動手實踐，自主探索，合作交流的學(xué)習(xí)方法。這樣可以使學(xué)生積極參與教學(xué)過程。在教學(xué)過程中展開思維，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生提出問題，分析問題，解決問題的能力，進(jìn)一步理解類比，分類討論等數(shù)學(xué)思想。

　　四，教學(xué)過程設(shè)計

　　基于以上教材分析，緊緊圍繞本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，從學(xué)生的認(rèn)知水平出發(fā)進(jìn)行如下的教學(xué)設(shè)計：

　　四、教學(xué)過程

　　1.創(chuàng)設(shè)情境，類比猜想

　　提出問題：今年我比你大10 歲，5年后，我比你大還是比你小，大幾歲，小幾歲？

　　2年前，我比你大還是比你小，大幾歲，小幾歲？

　　類比等式的性質(zhì)1,不等式有類似的性質(zhì)嗎？

　　【設(shè)計意圖】通過一些生活實例啟發(fā)學(xué)生思考，猜想不等式的性質(zhì)1

　　2、舉例說明，驗證結(jié)論

　　設(shè)計小活動：你說我驗

　　同桌合作，舉幾個例子，可以是數(shù)字例子，也可以是生活當(dāng)中的例子。相互驗證一下你猜想的是否正確

　　【設(shè)計意圖】通過這個活動旨在增強教學(xué)的有效性，一方面增強學(xué)生間的合作意識，另一方面增強學(xué)生思考的嚴(yán)謹(jǐn)性。活躍課堂氣氛，掀起課堂的一個小高潮。

　　學(xué)生總結(jié)，教師板書，以及注意引導(dǎo)學(xué)生理解"同一個整式"的含義。

　　3、類比等式的性質(zhì)2,使學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題：不等式是否有類似的性質(zhì)

　　不等式的性質(zhì)2,3是這一節(jié)的重點、難點，在這個知識點的處理上，完全放手給學(xué)生，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)，不等號沒變，在什么情況下不變？不等號發(fā)生了改變，在什么情況下發(fā)生了改變？讓學(xué)生自己的思維發(fā)生碰撞，再套用乘以或除以一個數(shù)已經(jīng)不能滿足需要了，因此，必須分成正數(shù)和負(fù)數(shù)兩種情況。這種分類不是老師硬塞給學(xué)生的，而是水到渠成的。讓學(xué)生再舉幾例試試，發(fā)現(xiàn)有沒有類似的結(jié)論。

　　【教法說明】為了突破學(xué)生對不等式性質(zhì)3理解的困難，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律采取化抽象為具體的方法來設(shè)計教學(xué)過程。為了體現(xiàn)以學(xué)生為本的課堂教學(xué)理念，在教學(xué)過程中主要采用探索發(fā)現(xiàn)法和啟發(fā)式教學(xué)法，即觀察猜測---直觀驗證---得出性質(zhì)，突出時間、結(jié)果和體驗學(xué)生有效學(xué)習(xí)的三個重要指標(biāo)，教學(xué)過程應(yīng)該成為學(xué)生的一種愉悅的情緒生活和積極的情感體驗。基于此，改變以往給學(xué)生畫好框架，讓學(xué)生跟著老師的思路走的教學(xué)模式，大膽放手給學(xué)生，從而培養(yǎng)學(xué)生的能力。這種方式能再次掀起小高潮。讓學(xué)生各有所獲，從不懂到懂，從少知到多知，從不會到會，從不能到能。學(xué)生通過觀察，類比，猜想，驗證，應(yīng)用等一系列探究活動，層層推進(jìn)，環(huán)環(huán)相扣，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性和系統(tǒng)性。

　　師生活動：由學(xué)生概括總結(jié)不等式的性質(zhì)2,3,同時教師板書。

　　4、例題講解，探究新知

　　例1 將下列不等式化成"x>a"或"x<a"的形式

　　（1）x-5>-1

　�。�2）-2x>3

　　解：（1）根據(jù)不等式的基本性質(zhì)1,兩邊都加上5,得

　　x>-1+5

　　即 x>4

　�。�2）根據(jù)不等式的基本性質(zhì)3,兩邊都除以-2,得

　　X<-3/2

　　【教法說明】解題時要引導(dǎo)學(xué)生與解一元一次方程的思路進(jìn)行對比，并將原題與或對照，看用哪條性質(zhì)能達(dá)到題目要求，要強調(diào)每步的理論依據(jù)，尤其要注意不等式基本性質(zhì)3與基本性質(zhì)2的區(qū)別，解題時書寫要規(guī)范。

　　【設(shè)計意圖】應(yīng)用性質(zhì)精講精練，對不等式進(jìn)行變形，加強對不等式性質(zhì)的理解，規(guī)范書寫格式

　　例2:對習(xí)題1進(jìn)行適當(dāng)?shù)母木帲阂阎猘<b,填空并連線：

　�。�1）a-3____b-3 根據(jù)不等式的性質(zhì)1

　�。�2）6a____6b 根據(jù)不等式的性質(zhì)2

　�。�3）-a_____-b 根據(jù)不等式的性質(zhì)3

　�。�4）a-b____0

　　教師活動：巡視輔導(dǎo)，了解學(xué)生作題的實際情況，及時給予糾正或鼓勵。

　　注意問題：做此練習(xí)題時，應(yīng)啟發(fā)學(xué)生將所做習(xí)題與題中已知條件進(jìn)行對比，例2（3）是根據(jù)不等式性質(zhì)3,不等號方向應(yīng)改變。這是學(xué)生做題時易出錯誤之處。

　　【設(shè)計意圖】連線改變以往簡單說明理由的形式，增加趣味性，同樣讓學(xué)生明白言之要有理，推理要有依據(jù)，這樣學(xué)生更容易接受。逐步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力

　　5、小試牛刀：斷正誤，正確的打"√",錯誤的打"×"

　　①∵ ∴ （�。　　、凇� ∴ （　）

　�、邸� ∴ （　）�、苋� ,則 ∴ , （　）

　　學(xué)生活動：一名學(xué)生說出答案，其他學(xué)生判斷正誤。

　　答案：①√�、凇痢、邸獭、堋�

　　【教法說明】以多種形式處理習(xí)題可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情，提高課堂效率；（2）練習(xí)第③④題易出錯

　　6、拓展思維，培養(yǎng)能力

　　比較2a與a的大小

　　【設(shè)計意圖】改變學(xué)生的思維定勢：2a一定比a大，培養(yǎng)學(xué)生的分類討論的思想。

　　7、分層布置作業(yè)

　　必做題：

　　選做題：

　　不等式的性質(zhì)說課稿（二）

　　一、教材分析：

　　1、教材的地位和作用

　　本課位于人民教育出版社義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書七年級下冊。主要內(nèi)容是讓學(xué)生在充分感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上體會不等式的性質(zhì)，它是空間與圖形領(lǐng)域的基礎(chǔ)知識，是《不等式》的重點，學(xué)習(xí)它會為后面的學(xué)習(xí)不等式解法、不等式的計算等知識打下堅實的"基石".同時，本節(jié)學(xué)習(xí)將為加深"不等式"的認(rèn)識，建立空間觀念，發(fā)展思維，并能讓學(xué)生在活動的過程中交流分享探索的成果，體驗成功的樂趣，把代數(shù)轉(zhuǎn)化為數(shù)軸，提高運用數(shù)學(xué)的能力。

　　2、教學(xué)重難點

　　重點不等式的性質(zhì)；

　　難點 "不等式"意義理解及應(yīng)用。

　　二、教學(xué)目標(biāo)

　　知識目標(biāo) 在了解不等式的意義基礎(chǔ)上，掌握不等式的性質(zhì)，并能計算不等式，了解不等式在實際中的應(yīng)用。

　　能力目標(biāo)

　　①通過觀察、思考探索等活動歸納出不等式的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生動手、分析、解決實際問題的能力。

　　②通過活動及實際問題的研究引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題，并用數(shù)學(xué)方法探索、研究和解決問題。

　　情感目標(biāo)

　�、俑惺軘�(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)的價值，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)敢想、敢說、敢解決實際問題的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

　　通過學(xué)生體驗、猜想并證明，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)充滿著探索和創(chuàng)造，培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)結(jié)協(xié)作，勇于創(chuàng)新的精神。

　�、谕ㄟ^"轉(zhuǎn)化"數(shù)學(xué)思想方法的運用，讓學(xué)生認(rèn)識事物之間是普遍聯(lián)系，相互轉(zhuǎn)化的辯證唯物主義思想。

　　三、教學(xué)方法

　　1、采用指導(dǎo)探究法進(jìn)行教學(xué)，主要通過學(xué)生拔河活動，師生互動，共同探不等式的性質(zhì)。②導(dǎo)——知識類比，合理引導(dǎo)等突出學(xué)生主體地位，讓教師成為學(xué)生學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者、合作者，讓學(xué)生親自動手、動腦、動口參與數(shù)學(xué)活動，經(jīng)歷問題的發(fā)生、發(fā)展和解決過程，在解決問題的過程中完成教學(xué)目標(biāo)。

　　2、根據(jù)學(xué)生實際情況，整堂課圍繞"情景問題——學(xué)生體驗——合作交流"模式，鼓勵學(xué)生積極合作，充分交流，既滿足了學(xué)生對新知識的強烈探索欲望，又排除學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)軸陌生和學(xué)無所用的思想顧慮。對學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生及時給予幫助，讓他們在學(xué)習(xí)的過程中獲得愉快和進(jìn)步。

　　3、利用課件輔助教學(xué)，突破教學(xué)重難點，擴(kuò)大學(xué)生知識面，使每個學(xué)生穩(wěn)步提高。

　　四、教學(xué)流程：

　　我的教學(xué)流程設(shè)計是：從創(chuàng)設(shè)情境，孕育新知開始，經(jīng)歷探索新知，構(gòu)建模式；解釋新知，落實新知；總結(jié)新知，布置作業(yè)等過程來完成教學(xué)。

　　創(chuàng)設(shè)情境，孕育新知：

　　①師生欣賞拔河比賽圖片，讓學(xué)生觀察、思考從人數(shù)上看有什么不同點。

　　②從學(xué)生經(jīng)歷過的事入手，讓學(xué)生比較兩個數(shù)的大小，并說明理由，讓學(xué)生留心實際生活，欣賞不等式的意義和性質(zhì)。

　�、勐鋵嵉綄W(xué)生是否會解不等式？本環(huán)節(jié)教師展示圖片，學(xué)生觀察思考，交流回答問題，了解實際生活中不等式的性質(zhì)的廣泛應(yīng)用。

　　設(shè)計意圖：通過圖片和動畫展示，貼近學(xué)生生活，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。從學(xué)生經(jīng)歷過的事入手。讓學(xué)生知道數(shù)學(xué)知識無處不在，應(yīng)用數(shù)學(xué)無時不有。符合"數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)從生活經(jīng)驗出發(fā)"的新課程標(biāo)準(zhǔn)要求。

　　2、實驗操作，探索新知------不等式的性質(zhì)

　　歸納：不等式的性質(zhì)

　　教師展示一組練習(xí)，學(xué)生獨立完成，鞏固新知。

　　在這一環(huán)節(jié)中，教師應(yīng)關(guān)注：

　�、賹W(xué)生能否理解不等式的性質(zhì)，動手操作答案是否準(zhǔn)確

　�、趯W(xué)生能否獨立探究、參與、合作、交流

　　設(shè)計意圖：復(fù)習(xí)提問，利用教具、學(xué)具讓學(xué)生動手，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動學(xué)生思考和積極性，提高學(xué)生合作交流的能力和質(zhì)量，教師有的放矢，讓學(xué)生掌握重點，培養(yǎng)學(xué)生自主探究的學(xué)習(xí)習(xí)慣和能力。及時練習(xí)鞏固，體現(xiàn)學(xué)以致用的觀念，消除學(xué)生學(xué)無所用的思想顧慮。

　　3、大膽猜想， ⑴學(xué)生分組討論：學(xué)生用語言表述推理過程，教師深入學(xué)生中并點撥將未知的轉(zhuǎn)化為已知，并規(guī)范推理過程。和學(xué)生一起歸納不等式的性質(zhì)。

　　（2）學(xué)生獨立完成練習(xí)。

　　本環(huán)節(jié)教師關(guān)注：

　�、賹W(xué)生能否主動參與數(shù)學(xué)活動，敢于發(fā)表個人觀點。

　�、谛〗M團(tuán)結(jié)協(xié)作程度，創(chuàng)新意識。

　�、郾頁P優(yōu)秀小組

　　設(shè)計意圖：猜想、交流、歸納，符合知識的形成過程，培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，學(xué)會將陌生的轉(zhuǎn)化為熟悉的，將未知的轉(zhuǎn)化為已知的。并用練習(xí)及時鞏固，落實新知與方法，增強學(xué)生運用數(shù)學(xué)的能力。加強學(xué)生運用新知的意識，培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，讓學(xué)生鞏固所學(xué)內(nèi)容，并進(jìn)行自我評價，既面向全體學(xué)生，又照顧個別學(xué)有余力的學(xué)生，體現(xiàn)因材施教的原則。

　　總結(jié)新知，布置作業(yè)

　　五、教學(xué)設(shè)計

　　本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計，依據(jù)《新課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求，立足于學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)來確定適當(dāng)?shù)钠瘘c與目標(biāo)，內(nèi)容安排從不等式的意義到不等式的性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)、論證和運用，逐步展示知識的過程，使學(xué)生的思維層層展開，逐步深入。在教學(xué)設(shè)計時，利用學(xué)具及多媒體輔助教學(xué)，展示圖片和動畫，使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)無處不在，運用數(shù)學(xué)無時不有。以動代靜，使課堂氣氛活躍，面向全體學(xué)生，給基礎(chǔ)好的學(xué)生充分的空間，滿足他們的求知欲，同時注重利用學(xué)生的好奇心，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，引導(dǎo)學(xué)一從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題，并用數(shù)學(xué)方法探索、研究和解決，體現(xiàn)《新課標(biāo)》的教學(xué)理念。

　　不等式的性質(zhì)說課稿（三）

　　教學(xué)分析

　　本節(jié)將在初中學(xué)習(xí)的不等式的三條基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)歸納整理不等式的其他性質(zhì)，這是進(jìn)一步學(xué)習(xí)不等式的基礎(chǔ)。要求學(xué)生掌握不等式的基本性質(zhì)與推論，并能用這些基本性質(zhì)證明簡單不等式，進(jìn)而更深層地從理性角度建立不等觀念。對不等式的基本性質(zhì)，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的觀點與等式的基本性質(zhì)作類比、歸納邏輯分析，并鼓勵學(xué)生從理性角度去分析量與量之間的比較過程。

　　基本性質(zhì)2、3、4在初中是由實例驗證，在高中里要進(jìn)行邏輯證明。教學(xué)中教師一定要認(rèn)識到對學(xué)生進(jìn)行邏輯訓(xùn)練的必要性，注意啟發(fā)學(xué)生要求證明的欲望。

　　在中學(xué)數(shù)學(xué)中，不等式的地位不僅特殊，而且重要，它與中學(xué)數(shù)學(xué)幾乎所有章節(jié)都有聯(lián)系，因此，不等式才自然而然地成為高考中經(jīng)久不衰的熱點、重點，有時也是難點。為此，在進(jìn)行本節(jié)教學(xué)時，教材中基本性質(zhì)的推論可由學(xué)生自己證明，課后的練習(xí)A、B要求學(xué)生全做。

　　三維目標(biāo)

　　1.通過對初中三條基本性質(zhì)的回憶，以及上節(jié)學(xué)習(xí)的知識，證明不等式的基本性質(zhì)和推論。

　　2.在了解不等式的基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上，利用它們來證明一些簡單的不等式。

　　3.通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)生頑強的探究精神和嚴(yán)肅認(rèn)真的科學(xué)態(tài)度。體會數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)美和系統(tǒng)美，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)更大的熱情。

　　重點難點

　　教學(xué)重點：理解并證明不等式的基本性質(zhì)與推論，并能用基本性質(zhì)證明一些簡單的不等式。

　　教學(xué)難點：不等式基本性質(zhì)的靈活應(yīng)用。

　　課時安排

　　1課時

　　教學(xué)過程

　　導(dǎo)入新課

　　思路1.（復(fù)習(xí)導(dǎo)入）讓學(xué)生回憶并敘述初中所學(xué)的不等式的三條基本性質(zhì)，即不等式的兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)，不等號的方向不變；不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變。讓學(xué)生根據(jù)上一節(jié)的學(xué)習(xí)將上面的文字語言用不等式表示出來，并進(jìn)一步探究，由此而展開新課。

　　思路2.（類比導(dǎo)入）等式具有許多性質(zhì)，其中有：在等式的兩邊都加上，或都減去，或都乘以，或都除以（除數(shù)不為零）同一個數(shù)，所得的仍是等式。我們自然會聯(lián)想到，不等式是否也會有此同樣的性質(zhì)呢？學(xué)生會進(jìn)一步探究驗證這個聯(lián)想，由此而展開新課。

　　推進(jìn)新課

　　新知探究

　　提出問題

　　（1）怎樣比較兩個實數(shù)或代數(shù)式的大��？（2）初中都學(xué)過不等式的哪些基本性質(zhì)？你能給出證明嗎？（3）不等式有哪些基本性質(zhì)和推論？這些性質(zhì)有哪些作用？

　　活動：教師引導(dǎo)學(xué)生一起回憶等式的性質(zhì)：等式的兩邊都加上，或都減去，或都乘以，或都除以（除數(shù)不為零）同一個數(shù)，所得到的仍是等式。利用這些性質(zhì)，我們可以對等式進(jìn)行化簡、變形或證明。那么不等式會不會也有類似的性質(zhì)呢？也就是說，如果在不等式的兩邊都加上，或都減去，或都乘以，或都除以（除數(shù)不為零）同一個數(shù)，結(jié)果會不會不變呢？為此教師引導(dǎo)學(xué)生回憶上節(jié)課學(xué)過的實數(shù)的基本性質(zhì)（或用多媒體展示），即a-b>0?a>b;a-b<0?a<b;a-b=0?a=b.

　　根據(jù)實數(shù)的基本性質(zhì)，要比較兩個實數(shù)的大小，可以考察這兩個實數(shù)的差。這是我們研究不等關(guān)系的一個出發(fā)點。

　　從實數(shù)的基本性質(zhì)，我們可以證明下列常用的不等式性質(zhì)：

　　性質(zhì)1,如果a>b,那么b<a;如果b<a,那么a>b,即a>b?b<a.這種性質(zhì)稱為不等式的對稱性。

　　性質(zhì)2,如果a>b,b>c,那么a>c,即a>b,b>c?a>c.這種性質(zhì)稱為不等式的傳遞性。

　　性質(zhì)3,如果a>b,那么a+c>b+c,

　　即不等式的兩邊都加上同一個實數(shù)，所得不等式與原不等式同向。

　　由此得到推論1,不等式中的任意一項都可以把它的符號變成相反的符號后，從不等式的一邊移到另一邊。這個推論稱為不等式的移項法則。

　　推論2,如果a>b,c>d,則a+c>b+d.

　　這類不等號方向相同的不等式，叫做同向不等式，同向不等式可以相加，這個推論可以推廣為更一般的結(jié)論 .

　　性質(zhì)4,如果a>b,c>0,則ac>bc;如果a>b,c<0,則ac<bc.

　　推論1,如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.

　　推論2,如果a>b>0,那么an>bn（n∈N+,n>1）。

　　推論3,如果a>b>0,那么na>nb（n∈N+,n>1）。

　　以上這些不等式的性質(zhì)是解決不等式問題的基本依據(jù)。其中性質(zhì)1是不等式的對稱性；性質(zhì)2是不等式的傳遞性；性質(zhì)3表明不等式的兩邊都加上同一個實數(shù)，所得不等式與原不等式同向，由此可得不等式中任何一項可以改變符號后移到不等號的另一邊；性質(zhì)4表明，不等式兩邊允許用非零數(shù)（或式）去乘，相乘后的不等式的方向取決于乘式的符號，這點與等式的性質(zhì)不同；性質(zhì)4的推論1說明兩邊都是正數(shù)的同向不等式可以相乘；性質(zhì)4的推論2說明兩邊都是正數(shù)的不等式可以乘方；性質(zhì)4的推論3說明兩邊都是正數(shù)的不等式可以開方。

　　對以上性質(zhì)的邏輯證明，教師可與學(xué)生一起完成。5個推論可由學(xué)生自己完成，教師給予適當(dāng)點撥。這是訓(xùn)練學(xué)生邏輯推理能力的極佳機(jī)會，不可錯過。

　　討論結(jié)果：

　�。�1）（2）略。

　　（3）4條性質(zhì)，5個推論。

　　應(yīng)用示例

　　例1（教材本節(jié)例題）

　　活動：本節(jié)教材上共安排了這一個例題，含3個小題，都是不等式性質(zhì)的簡單應(yīng)用，教師不可忽視本例的訓(xùn)練，過高估計了學(xué)生邏輯推理的書寫能力。(www.qkfawen.com)實踐證明，學(xué)生往往推理不嚴(yán)密。教學(xué)時應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)不等式的性質(zhì)的條件和結(jié)論，強調(diào)推理要有理有據(jù)，嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致，條理清晰。

　　點評：應(yīng)用不等式性質(zhì)對已知不等式進(jìn)行變形，從而得出要證的不等式，是證明不等式的常用方法之一。

　　變式訓(xùn)練

　　已知a>b>0,c<0,求證： ca>cb.

　　證明：∵a>b>0,∴ab>0,1ab>0.

　　于是a?1ab>b?1ab,即1b>1a.

　　由c<0,得ca>cb.

　　例2已知-π2≤α<β≤π2,求α+β2,α-β2的取值范圍。

　　活動：教師引導(dǎo)學(xué)生回憶本題的背景，這類問題是學(xué)習(xí)三角函數(shù)內(nèi)容時經(jīng)常遇到的，由于當(dāng)時所學(xué)知識所限，往往容易出錯。這里我們在已知的基礎(chǔ)上，運用不等式的基本性質(zhì)得出所要得到的結(jié)果。

　　解：∵-π2≤α<β≤π2,

　　∴-π4≤α2<π4,-π4<β2≤π4.

　　上面兩式相加，得-π2<α+β2<π2.

　　∵-π4<β2≤π4,

　　∴-π4≤-β2<π4.

　　∴-π2≤α-β2<π2.

　　又知α< β，∴α-β2<0.

　　故-π2≤α-β2<0.

　　點評：在三角函數(shù)化簡求值中，角的范圍的確定往往成為正確解題的關(guān)鍵。

　　變式訓(xùn)練

　　已知函數(shù)f（x）=x+x3,x1,x2,x3∈R,x1+x2<0,x2+x3<0,x3+x1<0,那么f（x1）+f（x2）+f（x3）的值（　�。�

　　A.一定大于0　　　　　　　　 B.一定小于0

　　C.等于0 D.正負(fù)都有可能

　　答案：B

　　解析：由題意知f（x）是奇函數(shù)，且在R上為單調(diào)增函數(shù)，

　　所以f（-x2）=-f（x2 ），f（-x3）=-f（x3），f（-x1）=-f（x1），

　　且x1<-x2,x2<-x3,x3<-x1.

　　所以f（x1）<-f（x2），f（x2）<-f（x3），f（x3）<-f（x1）。

　　由不等式的性質(zhì)3推論2知

　　f（x1）+f（x2）+f（x3）<-f（x1）-f（x2）-f（x3）。

　　因此，f（x1）+f（x2）+f（x3）<0.

　　3已知a>b>0,c<d<0,e<0,求證：ea-c>eb-d.

　　活動：教師引導(dǎo)學(xué)生觀察結(jié)論，由于e<0,因此即證1a-c<1b-d,引導(dǎo)學(xué)生作差，利用本節(jié)所學(xué)的不等式基本性質(zhì)。

　　證明：c<d<0?-c>-d>0a>b>0? a-c>b-d>0 ?1a-c<1b-de<0 ea-c>eb-d.

　　點評：本例是靈活運用不等式的性質(zhì)。證明時一定要推理有據(jù)，思路條理清晰。

　　變式訓(xùn)練

　　若1a<1b<0,則下列不等式：①a+b<ab;②|a|>|b|;③a<b中，正確的不等式有（　�。�

　　A.0個　　　　　B.1個　　　　　C.2個　　　　　D.3個

　　答案：B

　　解析：由1a<1b<0得b<a<0,ab>0,則①正確，②錯誤，③錯誤。

　　知能訓(xùn)練

　　1.若a、b、c∈R,a>b,則下列不等式成立的是（　　）

　　A.1a<1b B.a2>b2[來源：學(xué)+科+網(wǎng)]

　　C.ac2+1>bc2+1 D.a|c|>b|c|

　　2.若a>b>0,則下列不等式中總成立的是（　�。�

　　A.ba>b+1a+1 B.a+1a>b+1b

　　C.a+1b>b+1a D.2a+ba+2b>ab

　　3.有以下四個條件：

　�、賐>0>a;②0>a>b;③a>0>b;④a>b>0.

　　其中能使1a<1b成立的有__________個條件。

　　答案：

　　1.C　解法一：∵a>b,c2+1>0,∴ac2+1>bc2+1.

　　解法二：令a=1,b=-2,c=0,代入A、B、C、D中，可知A、B、D均錯。

　　2.C　解法一：由a>b>0 0<1a<1b a+1b>b+1a.

　　解法二：令a=2,b=1,排除A、D,再令a=12,b=13,排除B.

　　3.3　解析：①∵b>0,∴1b>0.∵a<0,∴1a<0.∴1a<1b.

　　②∵b<a<0,∴1b>1a.

　�、邸遖>0>b,∴1a>0,1b<0.∴1a>1b.

　　④∵a>b>0,∴1a<1b.

　　課堂小結(jié)

　　1.教師與學(xué)生共同完成本節(jié)的小結(jié)。從實數(shù)的基本性質(zhì)與三條基本性質(zhì)的回顧，到所有性質(zhì)的推得，推論的證明，以及例題的探究、變式訓(xùn)練等。真正溫故知新，將本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容納入已有的知識體系。

　　2.教師進(jìn)一步強調(diào)代數(shù)邏輯推理的方法要領(lǐng)，指出利用不等式的性質(zhì)時容易忽略的地方，以及證明不等式時需要注意的問題。

　　作業(yè)

　　習(xí)題3—1A組4、5;習(xí)題3—1B組4.

　　設(shè)計感想

　　1.本節(jié)設(shè)計更加關(guān)注學(xué)生的發(fā)展。通過具體問題的解決，讓學(xué)生去感受、體驗，并從理性的角度去思考，鼓勵學(xué)生用數(shù)學(xué)觀點進(jìn)行類比、歸納、抽象，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣和良好的思維習(xí)慣。

　　2.本節(jié)設(shè)計注重學(xué)生的探究活動。學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，通過對問題的探究思考、體驗認(rèn)識、廣泛參與，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣和積極主動的學(xué)習(xí)品質(zhì)，從而提高學(xué)習(xí)質(zhì)量。

　　3.本節(jié)設(shè)計注重了學(xué)生個性品質(zhì)的發(fā)展。通過對富有挑戰(zhàn)性問題的解決，激發(fā)學(xué)生頑強的探索精神和嚴(yán)肅認(rèn)真的科學(xué)態(tài)度，同時去感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，體會數(shù)學(xué)的奧秘與數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)美、數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)謹(jǐn)美，從而激發(fā)學(xué)生強烈的探究興趣。

　　備課資料

　　備用習(xí)題

　　1.如果a、b、c、d是任意實數(shù)，則（　　）

　　A.a>b,c=d ac>bd B.ac>bc a>b

　　C.a3>b3,ab>0 1a<1b D.a2>b2,ab>0 1a<1b

　　2.已知a+b>0,b<0,那么a,b,-a,-b的大小關(guān)系是（　�。�

　　A.a>b>-b>-a B.a>-b>-a>b

　　C.a>-b>b>-a D.a>b>-a>-b

　　3.已知-1< a<b<0,則下面不等式中正確的是（　　）

　　A.1a<1b<b2<a2 B.1a<1b<a2<b2

　　C.1b<1a<a2<b2 D.1b<1a<b2<a2

　　4.設(shè)a、b∈R,若a-|b|>0,則下列不等式中正確的是（　�。�

　　A.b-a>0 B.a3+b3<0

　　C.a2-b2<0 D.b+a>0

　　5.若α、β滿足-π2<α<β<π2, 則α-β的取值范圍是（　�。�

　　A.-π<α-β<π B.-π<α-β<0

　　C.-π2<α-β<π2 D.-π2<α-β<0

　　6.已知60<x<84,28<y<33,則x-y的取值范圍為__________,xy的取值范圍為__________.

　　7.已知a<b,c>d,求證：c-a>d-b.

　　8.已知x>y>z>0,求證：yx-y>zx-z.

　　參考答案：

　　1.C　A項中，當(dāng)c、d為負(fù)數(shù)時，ac<bd,A錯；B項中，當(dāng)c為負(fù)數(shù)時，a<b,B錯；C項中，a3>b3,得出a>b,又由ab>0可得1a<1b,C項正確；D項中，若a、b均為負(fù)數(shù)時，由a2>b2得出a<b,由ab>0得出1a>1b,D錯。

　　2.C　由a+b>0,b<0可知a>0,b<0,故a,-b為正，-a,b為負(fù)，又由a+b>0知a>-b,b>-a,所以a>-b>b>-a.

　　3.D　由-1<a<b<0知ab>0,所以1b<1a<0,a2>b2>0,故1b<1a<b2<a2.

　　4.D　利用賦值法：不妨令a=1,b=0,則排除A,B,C.

　　5.B　由α<β知α-β<0,又由α>-π2,β<π2,故α-β>（-π2）-π2=-π，

　　即-π<α-β<0.

　　6.（27,56）　（2011,3）　∵28<y<33,∴-33<-y<-28.

　　又60<x<84,∴27<x-y<56,yx∈（2884,3360）。

　　∴xy∈（6033,8428），

　　即2011<xy<3.

　　7.證明：∵a<b,∴-a>-b.

　　又∵c>d,∴c+（-a）>d+（-b），即c-a>d-b.

　　8.證明：∵x>y,∴x-y>0.∴1x-y>0.