彩色圖象的二維變形

　　 摘 要 該文討論了彩色圖像的變形扭曲技術(shù)，并針對(duì)二維變形給出了一個(gè)速度、精度均令人滿意的算法。
一、引言
在圖像處理的應(yīng)用中，一般圖像所覆蓋區(qū)域邊界是規(guī)則的矩形。為獲得某種特殊效果，常常需要將圖像變換到具有任意不規(guī)則邊界的二維區(qū)域或映像到三維空間曲面，簡(jiǎn)單地說，這就是所謂的圖像變形技術(shù)。本文重點(diǎn)討論了其中的任意二維多邊形區(qū)域的變形問題，并針對(duì)彩色圖像給出一個(gè)切實(shí)可行的算法。而三維情況下，則屬于計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中的紋理貼面范圍，一般均會(huì)牽涉到立體圖形消隱、明暗處理等技術(shù)，比較復(fù)雜，本文未作深入探討。
二、變換原理
本文所要討論的二維變形問題可以形式化說明如下:圖像定義在矩形區(qū)域ABCD之上，源多邊形區(qū)域P=p1p2…pnp1(Pi為頂點(diǎn)，i=1，2，…n)完全包含在ABCD內(nèi)；變形就是通過變換f，將P上的圖像變換到目的多邊形區(qū)域Q=Q1Q2…QnQ1(Qi為頂點(diǎn)，i=1，2，…n)，其中，P與Q中的各頂點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，即有:Qi=f(Pi)(i=1,2…n)。圖1是變形的一個(gè)簡(jiǎn)單例子:圖中的源多邊形區(qū)域是矩形區(qū)域ABCD，目的多邊形為任意四邊形EFGH，陰影部分在變換前后的變化清楚地說明了變形的效果。
@@T5S13200.GIF;圖1@@
那么，變換應(yīng)該如何進(jìn)行呢?
一種直接的思路是顯式地求出變換f的表達(dá)式。而f的實(shí)施又分兩種方法；其一為正向變換法，即用f將P內(nèi)的任一像素點(diǎn)變換到Q內(nèi)，取原像素值加以顯示。由于P與Q所包含像素點(diǎn)的數(shù)目一般不相同，甚至相差很大，造成Q中的像素點(diǎn)或者未被賦值，形成令人討厭的空洞，或者被多次賦值，浪費(fèi)了時(shí)間，總的效果不理想；其二利用f的反變換f-1，將Q內(nèi)的每一像素點(diǎn)反變換至P內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，一般此點(diǎn)具有實(shí)數(shù)坐標(biāo)，則可以通過插值，確定其像素值，這樣，結(jié)果圖像中的每一像素點(diǎn)均被賦值唯一的一次，既提高了精度，又可以避免不必要的賦值，使用效果較好。
上述顯示求變換(或反變換)的表達(dá)式的思路，比較精確，但是這往往牽涉到復(fù)雜的多元方程求解問題，并非輕易可以完成。本文所給出的另外一條思路是:既然P與Q中各頂點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，組成變換對(duì)，即源多邊形P中的任一頂點(diǎn)Pi(i=1,2…n)經(jīng)過變換f，得到目的多邊形Q中的頂點(diǎn)Qi(i=1,2…n)，則Qi的反變換點(diǎn)也必為Pi。這樣，對(duì)Q內(nèi)(包括邊界)的各像素點(diǎn)A，可以利用各頂點(diǎn)的反變換點(diǎn)的坐標(biāo)值通過雙線性插值技術(shù)近似求出其反變換點(diǎn)B；再用點(diǎn)B的坐標(biāo)值在源圖像中進(jìn)行插值，最終求得結(jié)果像素值，用于顯示A。
第二種方法在保留一定精度的前提下，避免了變換表達(dá)式的顯式求解，實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)便。本文基于此思想，設(shè)計(jì)了一個(gè)快速變形算法；另外，算法中還借鑒了多邊形區(qū)域掃描轉(zhuǎn)換的掃描線算法的思路，以實(shí)現(xiàn)對(duì)Q內(nèi)各像素點(diǎn)的高效掃描。以下，本文首先介紹了插值技術(shù)及增量計(jì)算技術(shù)，然后將給出二維變形算法的詳細(xì)步驟。
三、插值技術(shù)
已知目的多邊形Q各頂點(diǎn)Qi(i=1,2…n)的變換坐標(biāo)值，如何求出Q內(nèi)任一像素的反變換坐標(biāo)呢?雙線性插值法是一種簡(jiǎn)單快速的近似方法。具體做法是:先用多邊形頂點(diǎn)Qi(i=1,2…n)的反變換坐標(biāo)線性插值出當(dāng)前掃描線與多邊形各邊的交點(diǎn)的反變換坐標(biāo)，然后再用交點(diǎn)的反變換坐標(biāo)線性插值出掃描線位于多邊形內(nèi)的區(qū)段上每一像素處的反變換坐標(biāo)值用于以后的計(jì)算。逐條掃描線處理完畢后，Q內(nèi)每一像素點(diǎn)的反變換坐標(biāo)值也就均求出來了。如圖2中所示，掃描線Y(縱坐標(biāo)=Y)與多邊形相交于點(diǎn)A和B兩點(diǎn)，D則是位于掃描線上位于多邊形內(nèi)的區(qū)段AB上的任一點(diǎn)。已知多邊形的3個(gè)頂點(diǎn)Qi(i=1,2，3)的反變換坐標(biāo)為(RXi,RYi)；
又令A(yù)、B及D各點(diǎn)的反變換坐標(biāo)分別是(RXa,RYa),(RXb,RYb)和(RXd,RYd)。則RXp可按以下公式求出:
RXa=uRX1+(1-u)RX2 式1
RXb=vRX1+(1-v)RX3式2
RXd=tRXa+(1-t)RXb 式3
其中，u=|AQ2|/|Q1Q2|，v=|BQ3|/|Q1Q3|，t=|DB|/|AB|，
稱為插值參數(shù)。
RYd的值亦可完全類似地求出，甚至不必改變插值參數(shù)的計(jì)算。(Rxd,Ryd)即是D點(diǎn)在原圖像中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)近似值。
@@T5S13201.GIF;圖2@@
上述的雙線性插值過程可以通過增量計(jì)算方法提高速度。其中，在水平方向上，位于多邊形內(nèi)的各區(qū)段上的各像素的反變換坐標(biāo)可以沿掃描線從左至右遞增計(jì)算。仍以反變換的X坐標(biāo)為例。如圖2所示，在掃描線Y上，C與D是相鄰兩像素點(diǎn)，對(duì)C點(diǎn)，插值參數(shù)tc=|CB|/|AB|，對(duì)D點(diǎn)，td=|DB|/|AB|，則插值參數(shù)之差△t=|CD|/|AB|，由于C與D相鄰，且在同一掃描線上，|CD|=1，即△t=1/|AB|，在AB區(qū)段上為常數(shù)。根據(jù)式1～式3，不難推得D點(diǎn)的反變換X坐標(biāo)Rxd與C點(diǎn)的反變換X坐標(biāo)Rxc之間的關(guān)系如下:
Rxd=Rxc+(Rxa-Rxb)·△t=Rxc+△Rxx
由于△Rxx在AB區(qū)段仍為常數(shù)，故AB區(qū)段上各像素點(diǎn)的反變換X坐標(biāo)均可由A點(diǎn)的Rxa依次遞增求得，而反變換Y坐標(biāo)的遞增求法亦是相同。這樣，AB區(qū)段上各像素點(diǎn)的反變換坐標(biāo)值的計(jì)算簡(jiǎn)化為兩次加法，時(shí)間的節(jié)省是驚人的。事實(shí)上，在垂直方向，每條邊也可在相鄰掃描線間遞增計(jì)算其與掃描線交點(diǎn)的反變換坐標(biāo)。如圖2中的Q1Q2邊，其與相鄰的兩條掃描線Y與Y-1分別交于A點(diǎn)和E點(diǎn)。則兩點(diǎn)的插值參數(shù)之差△u=|AE|/|Q1Q2|，而Q1Q2邊與掃描線交角固定為θ，且A和E兩點(diǎn)的Y坐標(biāo)之差為1，則有:|AE|=1/Sinθ，對(duì)于Q1Q2邊而言是常量，因此△u對(duì)此邊也是常量，于是推得兩點(diǎn)反變換X坐標(biāo)關(guān)系如下:
Rxa=Rxe+(Rx1-Rx2)△u=Rxe+△Rxy
顯然，△Rxy沿Q1Q2邊亦是常數(shù)，故而可知，相鄰掃描線與各邊交點(diǎn)的反變換坐標(biāo)也只要兩次浮點(diǎn)加法的計(jì)算量。這樣，區(qū)域內(nèi)每一像素點(diǎn)的反變換均可通過增量計(jì)算高效地完成，這大大提高了整個(gè)變形算法的速度。
另外，前面提到，經(jīng)過反變換后的點(diǎn)一般具有實(shí)數(shù)坐標(biāo)，無法直接在原圖像中獲得顏色值。但我們知道，一幅所謂數(shù)字圖像，其實(shí)質(zhì)是對(duì)連續(xù)圖像在整數(shù)坐標(biāo)網(wǎng)格點(diǎn)上的離散采樣，因而可以用插值的方法，得到區(qū)域內(nèi)具有任意坐標(biāo)的點(diǎn)的顏色值。插值即是對(duì)任意坐標(biāo)點(diǎn)的顏色值，用其周圍的若干像素(具有整值坐標(biāo)值，顏色值確定)的顏色值按一定插值公式近似計(jì)算。一般有最近鄰點(diǎn)法、雙線性插值法及3次樣條函數(shù)法等插值方法，出于精度與速度的折衷要求，選用雙線性插值方 法對(duì)絕大多數(shù)的應(yīng)用場(chǎng)合是適宜的。需特別指出的是，應(yīng)該對(duì)顏色的3原色分量分別進(jìn)行插值，而不要直接使用讀像素點(diǎn)得到的顏色索引號(hào)。詳細(xì)討論見文獻(xiàn)[1]。
四、算法細(xì)節(jié)
下面將要給出的彩色圖像的二維變形算法以多邊形區(qū)域掃描轉(zhuǎn)化的掃描線算法為框架，且使用相仿的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，對(duì)目的多邊形區(qū)域高效地進(jìn)行逐點(diǎn)掃描，同時(shí)實(shí)現(xiàn)前面討論的各種技術(shù)。
首先給出的是用C語言描述的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu):
struct Edge {
float x; /*在邊的分類表ET中表示邊的下端點(diǎn)的x

坐標(biāo)；在邊的活化鏈
表AEL中則表示邊與掃描線的交點(diǎn)的x坐標(biāo)；*/
float dx; /*邊的斜率的倒數(shù)；即沿掃描線間方向X的增量值*/
int Ymax; /*邊的上端點(diǎn)的y坐標(biāo)*/
float Rx; /*在ET中表示邊的下端點(diǎn)*/
float Ry; /*的反變換坐標(biāo)；在AEL中則表示邊與掃描線交點(diǎn)的反變換坐標(biāo)*
/
表float dRx; /*沿掃描線間方向，反變*/
float dRy; /*換坐標(biāo)(Rx,Ry)的增量值*/
struct Edge *next;/*指向下一條邊的指針*/
}; /*多邊形的邊的信息*/
struct Edge *ET[YResolution];
/*邊的分類表，按邊的下端點(diǎn)的縱坐標(biāo)Y對(duì)非水平邊進(jìn)行分類的指針數(shù)組。
下端點(diǎn)的Y值等于i的邊歸入第i類，同一類中，各邊按X值及△X的值遞增順序排列；YResolution為掃描線數(shù)目*/
struct Edye *AEL;
表 /*邊的活化鏈表，由與當(dāng)前掃描線相交的所有多邊形的邊組成，記錄了多邊形邊沿當(dāng)前掃描線的交點(diǎn)序列。*/
struct Polygon {
int npts; /*多邊形頂點(diǎn)數(shù)*/
struct Point *Pts;
/*多邊形的頂點(diǎn)序列*/
}; /*多邊形信息*/
struct Point {
int X;
int Y; /*頂點(diǎn)坐標(biāo)*/
float Rx;
float Ry; /*頂點(diǎn)的反變換坐標(biāo)*/
}; /*多邊形各頂點(diǎn)的信息*/
注意以上注釋中邊的下端點(diǎn)指縱坐標(biāo)值較小的一端，另一端即為上端點(diǎn)。
以下則為算法的詳細(xì)步驟:
1.數(shù)據(jù)準(zhǔn)備
對(duì)于每一條非水平邊QiQi+1，設(shè)Qi與Qi+1的坐標(biāo)分別為(Xi,Yi)
及(X
i+1,Yi+1)；其反變換坐標(biāo)為(Rxi,Ryi)及(RXi+1,RYi+1)。
則按以下各式對(duì)此邊的信息結(jié)構(gòu)各域進(jìn)行填寫:
X=Xi,Yi＜Yi+1
Xi+1,Yi＞Yi+1
RX=RXi,Yi＜Yi+1
RXi+1,Yi＞Yi+1
RY=RYi,Yi＜Yi+1
RYi+1,Yi＞Yi+1
dx=(xi-xi+1)/(yi-yi+1)
Ymax=max(yi，yi+1)
dRx=(Rxi-Rxi+1)/(yi-yi+1)
dRy=(Ryi-Ryi+1)/(yi-yi+1)
然后將其插入鏈表ET[min(yi，yi+1)]中。活化邊表AEL置空。
當(dāng)前掃描線縱坐標(biāo)y取為0，即最小序號(hào)。
2.掃描轉(zhuǎn)換
反復(fù)作以下各步，直到y(tǒng)等于YResolution
(1)若ET[y]非空，則將其內(nèi)所有邊插入AEL。
(2)若AEL非空，則將其按X及dx的值從小到大排列各邊，接(3)；否則轉(zhuǎn)
(3)將AEL內(nèi)各邊按排列順序兩兩依次配對(duì)。則沿當(dāng)前掃描線Y組成若干水平區(qū)間[xLeft,xRight]，其左右端點(diǎn)的反變換坐標(biāo)分別為:(lRx,lRy)，(rRx,rRy)。則對(duì)于每一個(gè)這樣的區(qū)間作以下各步:
dRxx=(lRx-rRx)/(xleft-xRight)
dRyx=(lRy-rRy)/(xleft-xRight)
又設(shè)原圖像已讀入二維數(shù)組Image之中。令XX=xleft, Rxy=lRx, Ryx=lRy則對(duì)于每個(gè)滿足xLeft≤xX≤xRight的坐標(biāo)為(xx,y)的像素，其反變換坐標(biāo)(Rxy,Ryx)可按下式增量計(jì)算:
Rxx=Rxx+dRxx
Ryx=Ryx+dRyy
用(Rxx,Ryx)在數(shù)組Image之中插值，(參見文獻(xiàn)[1])，按所得顏色值顯示該像素。然后邊x=x+1，計(jì)算下一像素。
(4)將AEL中滿足y=Ymax的邊刪去，然后按下式調(diào)整AEL中各邊的信息。
X=X+dx
Rx=Ry+dRx
Ry=Ry+dRy
(5)y=y+1,重復(fù)下一點(diǎn)。
五、討論
上述算法針對(duì)彩色圖像的二維變形問題，給出了一個(gè)簡(jiǎn)單快速的實(shí)現(xiàn)方案。至于三維變形，由于一般會(huì)牽涉到隱藏面消除等問題，比較復(fù)雜。但在一些情況下，可以避開消隱問題，如目的曲面形狀比較簡(jiǎn)單，投影到屏幕后，各部分均不發(fā)生重疊，也就沒有必要使用消隱技術(shù)，直接投影就可以了。這時(shí)就仍然可以利用本文介紹的二維變形技術(shù)，進(jìn)行處理。方法是:
將曲面用許多小平面多邊形進(jìn)行逼近，再將各個(gè)小多邊形投影到屏幕上，形成二維多邊形。
在確定了小多邊形到原圖像各部分的對(duì)應(yīng)關(guān)系之后，三維問題就轉(zhuǎn)化成了二維問題，速度比較快，也能達(dá)到一定的效果。若掌握了消隱技術(shù)之后，則可以處理任意的曲面變形了，思路同上。

參考文獻(xiàn)
[1]向輝 壽標(biāo)“真實(shí)感圖像的顏色插值及其應(yīng)用”，計(jì)算機(jī)世界月刊，1992年10月

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