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基于FPGA流水線分布式算法的FIR濾波器的實(shí)現(xiàn)
摘要：提出了一種采用現(xiàn)場(chǎng)可編碼門(mén)陣列器件（FPGA）并利用窗函數(shù)法實(shí)現(xiàn)線性FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方案，并以一個(gè)十六階低通FIR數(shù)字濾波器電路的實(shí)現(xiàn)為例說(shuō)明了利用Xilinx公司的Virtex-E系列芯片的設(shè)計(jì)過(guò)程。對(duì)于在FPGA中實(shí)現(xiàn)FIR濾波器的關(guān)鍵——乘加運(yùn)算，給出了將乘加運(yùn)算轉(zhuǎn)化為查找表的分布式算法。設(shè)計(jì)的電路通過(guò)軟件進(jìn)行了驗(yàn)證并進(jìn)行了硬件仿真，結(jié)果表明：電路工作正確可靠，能滿足設(shè)計(jì)要求。關(guān)鍵詞：FIR濾波器 FPGA 窗函數(shù) 分布式算法 流水線
隨著數(shù)字技術(shù)日益廣泛的應(yīng)用，以現(xiàn)場(chǎng)可編程門(mén)陣列（FPGA）為代表的ASIC器件得到了迅速普及和發(fā)展，器件集成度和速度都在高速長(zhǎng)。FPGA既具有門(mén)陣列的高邏輯密度和高可靠性，又具有可編碼邏輯器件的用戶可編程特性，可以減少系統(tǒng)設(shè)計(jì)和維護(hù)的風(fēng)險(xiǎn)，降低產(chǎn)品成本，縮短設(shè)計(jì)周期。
分布式算法是一種以實(shí)現(xiàn)乘加運(yùn)算為目的的運(yùn)算方法。它與傳統(tǒng)算法實(shí)現(xiàn)乘加運(yùn)算的不同在于執(zhí)行部分積運(yùn)算的先后順序不同。簡(jiǎn)單地說(shuō)，分布式算法在完成乘加功能時(shí)是通過(guò)將各輸入數(shù)據(jù)每一對(duì)應(yīng)位產(chǎn)生的部分積預(yù)先進(jìn)相加形成相應(yīng)部分積，然后在對(duì)各部門(mén)積進(jìn)行累加形成最終結(jié)果，而傳統(tǒng)算法是等到所有乘積產(chǎn)生之后再進(jìn)行相加來(lái)完成乘加運(yùn)算的。與傳統(tǒng)算法相比，分布式算法可極大地減少硬件電路規(guī)模，很容易實(shí)現(xiàn)流水線處理，提高電路的執(zhí)行速度。
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FPGA有著規(guī)整的內(nèi)部邏輯塊陣列和豐富的連線資源，特別適合細(xì)粒度和高并行度結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的數(shù)字信號(hào)處理任務(wù)，如FIR、FFT等。本文詳細(xì)討論利用FPGA實(shí)現(xiàn)FIR濾波器的設(shè)計(jì)過(guò)程，并且對(duì)設(shè)計(jì)中的關(guān)鍵技術(shù)——分布式算法進(jìn)行詳細(xì)描述。
1 FIR和分布式算法
1.1 FIR的基本概念
FIR濾波器的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：
式中，N是FIR濾波器的抽頭數(shù)，x(n)表示第n時(shí)刻的輸入樣本；h(i)是FIR濾波器的第i級(jí)抽頭系數(shù)。
普通的直接型FIR濾波器結(jié)構(gòu)如圖1所示。
FIR濾波器實(shí)質(zhì)上是一個(gè)分節(jié)的延遲線，把每一節(jié)的輸出加權(quán)累加，便得到濾波器的輸出。對(duì)于FIR濾波器，幅度上只需滿足以下兩個(gè)條件之一，就能構(gòu)成線性相位FIR濾波器。
h(n)=h(N-1-n) (2)
h(n)=-h(N-1-n) (3)
式（2）稱為第一類(lèi)線性相位的幅度條件（偶對(duì)稱），式（3）稱為第二類(lèi)線性相位的幅度條件（奇對(duì)稱）。
1.2 FIR濾波器的優(yōu)化
在實(shí)際應(yīng)用中，為了減少邏輯資源的占有量和提高系統(tǒng)的運(yùn)行速度，對(duì)FIR濾波器需要進(jìn)行優(yōu)化處理。本文采用的優(yōu)化主要有兩種：一種是對(duì)表達(dá)式進(jìn)行優(yōu)化，另一種是在FPGA實(shí)現(xiàn)中利用特有的查找表進(jìn)行優(yōu)化。
1.2.1 表達(dá)式的直接優(yōu)化
對(duì)于線性相位因果FIR濾波器，它的系列具有中心對(duì)稱特性，即h(i)=±h(N-1-i)。令s(i)=x(i) ±x(N-1-i)，對(duì)于偶對(duì)稱，代入式（1）可得：
根據(jù)方程（4），線性相位FIR濾波器的直接型結(jié)構(gòu)可以改為如圖2所示的結(jié)構(gòu)，從而使N次乘法減少為[N/2]次，加法次數(shù)增加了[N/2]次（N為偶數(shù)），總的運(yùn)算量減少。
1.2.2 利用查找表進(jìn)行設(shè)計(jì)優(yōu)化
由于實(shí)現(xiàn)的是固定系數(shù)的FIR濾波器，所以可以用利用簡(jiǎn)化的過(guò)程（如查找表）減少設(shè)計(jì)所耗用的器件資源。
以一個(gè)8階FIR濾波器為例來(lái)說(shuō)明在FPGA實(shí)現(xiàn)中優(yōu)化的過(guò)程。假定濾波器的輸入為2bit的正整數(shù)，由（4）可以得到輸出為：
y(n)=s(0)h(0)+s(1)h(1)+s(2)h(2)+s(3)h(3) (5)
這時(shí)的乘法和加法就可以并行地采用查找表實(shí)現(xiàn)，其結(jié)構(gòu)示意圖如圖3所示。
在圖3中，右面4個(gè)信號(hào)是輸入的低位bit，左邊是輸入信號(hào)的高位bit。低位和P1最多使用4bit，由于系數(shù)固定，查找表實(shí)現(xiàn)起來(lái)很方便；高位和P2可按同樣方法計(jì)算。在該結(jié)構(gòu)中，部門(mén)積P1和P2可以利用Virtex-E的4輸入查找表實(shí)現(xiàn)，所有的計(jì)算都可并行完成。由于輸入為2bit，因此只用了一個(gè)加法器；對(duì)于更多位數(shù)的輸入來(lái)說(shuō)，將需要更多的加法器。這樣就實(shí)現(xiàn)了將乘法器轉(zhuǎn)化為回法器，減少了解邏輯資源，優(yōu)化了設(shè)計(jì)。
1.3 分布式算法
分布式算法在20多年前被首次提出，但直到Xilinx發(fā)明FPGA的查找表結(jié)構(gòu)以后，分布式算法才在20世紀(jì)90年代初重新受到重視，并被有效地應(yīng)用在FIR濾波器的設(shè)計(jì)中。下面介紹分布式算法的原理。
式（1）可以用下式表示：
式中，hi即h(i)，xi(n)即x(n-i)，N為濾波器的抽頭數(shù)。
把數(shù)據(jù)源數(shù)據(jù)格式規(guī)定為2的補(bǔ)碼形式，則：
式中，xib(n)為二進(jìn)制數(shù)，取值為0或1；xio(n)為符號(hào)位，為1表示數(shù)據(jù)為負(fù)，為0表示數(shù)據(jù)為正。將（7）式代入（6）式可得：
由此可以看出，方括號(hào)是輸入變量的一個(gè)數(shù)據(jù)位和所有濾波器抽頭系數(shù)h0～hi的每一位進(jìn)行“與”運(yùn)算并求和。而指數(shù)部分則說(shuō)明了求和結(jié)果的位權(quán)，整數(shù)乘以2b就是左移b位，對(duì)此可以通過(guò)硬件連線實(shí)現(xiàn)，不占用邏輯資源。這樣就可以通過(guò)建立查找表來(lái)實(shí)現(xiàn)方括號(hào)中的運(yùn)算，查找表可用所有輸入變量的一同一位進(jìn)行尋址。
2 系統(tǒng)設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)
下面以一個(gè)16階的線性相位FIR低通濾波器為例說(shuō)明設(shè)計(jì)的過(guò)程。
2.1 設(shè)計(jì)指標(biāo)及參數(shù)提取
2.1.1 濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)
采樣頻率：≥50MHz 歸一化截止頻率：0.4MHz
類(lèi)型：低通 輸入數(shù)據(jù)寬度：8位
階數(shù)：16階 輸出數(shù)據(jù)寬度：16位
2.1.2 參數(shù)提取
采用漢字窗函數(shù)（Hanning）設(shè)計(jì)16階線性相位FIR數(shù)字濾波器，并提取其特性參數(shù)。
這里需要注意的是：下載到FPGA的程序是按照FIR濾波器的差分方程式編寫(xiě)的。由于從MATLAB中算出的系數(shù)h(n)的值是一組浮點(diǎn)數(shù)，而FPGA器件只進(jìn)行定點(diǎn)值的計(jì)算，所以要進(jìn)行浮點(diǎn)值到定點(diǎn)值的轉(zhuǎn)換。假定“1”對(duì)應(yīng)10000000000000000（17位，相當(dāng)于乘上65536）。
用漢字窗（Hanning）進(jìn)行設(shè)計(jì)，此16階FIR數(shù)字低通濾波器特性參數(shù)經(jīng)過(guò)換算如下：
h[0]=h[15]=0000 h[1]=h[14]=0065 h[2]=h[13]=018F
h[3
]=h[12]=035A h[4]=h[11]=0579 h[5]=h[10]=078E
h[6]=h[9]=0935 h[7]=h[8]=0A1F
圖5
2.2 系統(tǒng)具體實(shí)現(xiàn)步驟
2.2.1 查找表的建立
我們知道，如果濾波器抽頭數(shù)N過(guò)多，用單個(gè)查找表就不能執(zhí)行全字（因?yàn)椴檎冶砦粚?濾波器抽頭數(shù)的數(shù)量）。在這種情況下，可以將表的地址輸入位數(shù)（即濾波器抽頭數(shù)N）進(jìn)行降低，既利用部分表并將結(jié)果相加。如果加上流水線寄存器，這一改進(jìn)并沒(méi)有降低速度，但是卻可以極大地減少設(shè)計(jì)規(guī)模，因?yàn)椴檎冶淼囊?guī)模是隨著地址空間，也就是濾波器抽頭數(shù)N的增加而呈指數(shù)增加，
根據(jù)卷積和定義16階內(nèi)積。
濾波器抽頭數(shù)是16個(gè)，考慮到線性FIR濾波器的偶對(duì)稱特性，只考慮8個(gè)獨(dú)立濾波器抽頭數(shù)，則需要一個(gè)2 8×8的表（其中指數(shù)8指的是8個(gè)濾波器抽頭數(shù)，后面的8指的是輸入數(shù)據(jù)的位寬）。但是Virtex-e FPGA只能提供4輸入的查找表，所以要對(duì)查找表的地址進(jìn)行電路分割。將8位地址線分為高4位和低4位，分別作為兩個(gè)2 4×8的查找表的地址輸入，從而指數(shù)倍地節(jié)省了硬件資源。
2.2.2 查表計(jì)算部分積累加和的過(guò)程
假定輸入數(shù)據(jù)x[n]的值x[0]=1 10=00000001 2c,x[1]=-1 10=11111111 2c,x[2]=3 10=00000011 2c,x[3]=2 10=00000010 2c。（注：2c代表用二進(jìn)制補(bǔ)碼表示，最高位為符號(hào)位。）
數(shù)據(jù)校驗(yàn)結(jié)果：h[0]x[0]+h[1]x[1]+h[2]x+h[3]x[3]=2812
說(shuō)明利用分布式查表算法的計(jì)算結(jié)果與直接計(jì)算結(jié)果相同，算法正確無(wú)誤。
查找表（2）的查表計(jì)算結(jié)果依此類(lèi)推。只是需要注意：查找表（2）的數(shù)據(jù)輸入x是8位數(shù)據(jù)x[4]、x[5]、x[6]、x[7]，而不是x[3]、x[2]、x[1]、x[0]。根據(jù)系數(shù)偶對(duì)稱性質(zhì)。x[8]、x[9]、x[10]、x[11]查查找表（2），x[12]、x[13]、x[14]、x[15]查查找表（1）。
3 設(shè)計(jì)結(jié)果
本系統(tǒng)的FPGA采用Xilinx公司的Virtex-E系列中的XCV100E FPGA，使用的軟件是Xilinx公司的ISE5.2i及Modelsim公司的Modelsim時(shí)序仿真工具，對(duì)FIR濾波器進(jìn)行描述編程使用的是VHDL語(yǔ)言。
實(shí)現(xiàn)FIR濾波器的最上層的原理圖如圖4所示，輸入16個(gè)8位數(shù)據(jù)data_in={1,-1,3,2,2-1,1,-1,1,-1,3,2,2,-1,1,1}。
系統(tǒng)仿真的時(shí)序圖如圖5所示。所設(shè)計(jì)FIR濾波器的幅頻、相頻、單位脈沖沖激響應(yīng)如圖6～8所示。
FIR濾波是DPS的基本運(yùn)算形式這一。本文介紹的基于FPGA的分布式算法提高了系統(tǒng)運(yùn)行的速度并且節(jié)省了大量的FPGA資源。通過(guò)階段以及查找表中抽頭系數(shù)的設(shè)定，還可以靈活地實(shí)現(xiàn)除低通外的高通、寬阻和帶通濾波器。
設(shè)計(jì)的電路已通過(guò)FPGA驗(yàn)證，說(shuō)明工作正常，符號(hào)設(shè)計(jì)指標(biāo)。
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