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淺談初中數(shù)學中數(shù)形思想轉化
淺談初中數(shù)學中數(shù)形思想轉化
——以《反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)》為例
邵東縣周斕初中數(shù)學名師工作室
反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，蘊含著豐富的數(shù)學思想。我認為在“反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)”這一課的教學過程中，“數(shù)”與“形”的轉化，是貫穿始終的一條主線。我在教學時重點從以下三個方面來談。
一、對數(shù)形結合的解讀
第一，反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是“數(shù)”與“形”的統(tǒng)一體，由“解析式”到“作圖”，再推導出“性質(zhì)”，都充分體現(xiàn)了由“數(shù)”到“形”，再由“形”到“數(shù)”的相互轉化過程，這是數(shù)形結合思想的具體應用。本課的教學設計與實施中，通過“描點法”作圖、觀察幾個具體的反比例函數(shù)的圖象、課件演示展示“由動點生成函數(shù)圖象”，很好地反映了“數(shù)”、“形”之間的這種內(nèi)在的聯(lián)系。
第二，在“列表取值時，變量為何不能取零”、“反比例函數(shù)的圖象為何與坐標軸不會有相交”、“特殊的反比例函數(shù)性質(zhì)能否推廣到一般”這幾個問題中，如果單純依靠觀察圖象，是無法得出具有“說服力”的結論的，這就要求“回歸”解析式，再認識，再引導學生進行分析。即我們可以借助直觀圖形，幫助我們思考相關的問題，但僅有圖形的直觀是不夠的，必須考慮“已經(jīng)”形式化的“數(shù)”的本質(zhì)“特征”，使“數(shù)”、“形”之間達到統(tǒng)一。于是，我在教學中，同樣關注了對反比例函數(shù)解析式的分析。
第三，在總結得出反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)之后，我們?yōu)閷W生提供了相關習題，幫助學生理解并靈活運用反比例函數(shù)的性質(zhì)，初步把握數(shù)形結合思想和轉化意識，目的是為學生提供一個體會“數(shù)形結合”、以及應用“數(shù)形結合”來分析問題，解決問題的平臺，使學生經(jīng)歷利用“函數(shù)圖形”形象直觀的來認識、解決與函數(shù)有關問題的過程。
二、對教學效果的反饋
在實際授課過程中，教學環(huán)節(jié)的展開是順暢、自然的，如“觀察探究，形成新知”環(huán)節(jié)，學生能夠在教師的引導下，說出一次函數(shù)的圖象特征及性質(zhì)，并通過類比一次函數(shù)的研究方法，完成列表、描點、畫出反比例函數(shù)圖象的過程，也可以通過觀察所畫出的反比例函數(shù)的圖象，得出其圖象的“特征”和函數(shù)的“性質(zhì)”。
由于學生剛剛接觸反比例函數(shù)的圖象，圖象的外在形式(雙曲線)與一次函數(shù)的圖象(直線)之間存在較大的差異，學生還缺乏對反比例函數(shù)圖象“整體形象”的把握。一方面，當反比例系數(shù)的絕對值較大時，部分學生畫出的圖形，不能完整地反映其圖象“漸近”的特征；另一方面，在應用反比例函數(shù)(增或減)的性質(zhì)，比較反比例函數(shù)的兩個函數(shù)值的大小時，學生還不能有意識地從“自變量的正負”來考慮問題，這致使學生在課后“目標檢測”時，對部分問題的解決出現(xiàn)偏差。不可忽視本節(jié)課學習的一個重要的方法，就是采用“類比”。在教學過程中，我積極引導學生采用“類比一次函數(shù)學習的方法”，積極調(diào)動學生“ 推理”的因素，以確保學習知識的“正遷移”效應。事實上，這樣也會帶來另一些負影響，學生往往對屬于一次函數(shù)和反比例函數(shù)“共性”的結論印象比較深刻，而對于新的反比例函數(shù)“個性”的結論，在理解上反而會受到一些干擾。?
三、對教學設計的改進
1、必須強調(diào)“回歸”反比例函數(shù)解析式。在這節(jié)課的教學中，我通過描點畫出反比例函數(shù)的圖像，使反比例函數(shù)解析式表示的函數(shù)關系直觀化，便于學生通過觀察，得出函數(shù)圖象的“特征”及函數(shù)的“性質(zhì)”，但由于這樣得出的結論，對“圖像”的依賴性過強，甚至形成了“解析式--圖象--性質(zhì)”的思維定勢，而忽視了數(shù)學形式化的意義，也有悖于“圖形直觀”在研究函數(shù)問題中的輔助性作用，也就是說，我們不能將對函數(shù)的認識，完全等價于對其圖形的認識，應該把“圖像”與“解析式”結合起來，以利于更好地探究兩個變量之間變化的規(guī)律性。
因此，本課的教學設計應注重分析“反比例函數(shù)圖象的位置特征”，積極引導學生觀察和分析“反比例函數(shù)的增減變化趨勢”，也不可忽視對反比例函數(shù)解析式的剖析。這種從“數(shù)”的方面的再認識，肯定會使學生對反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)的認識更加科學精確。
2、必須關注“類比”中的異同點。反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)的學習，可以模仿類比一次函數(shù)的研究方法進行探究，從而體現(xiàn)了函數(shù)學習的一般規(guī)律和方法。在這課的教學設計時，我尊重教材的編寫意圖，以課本例題為例、以課后練習訓練為主，適當增加一些習題，其中解題思路是通過“描點——作圖——觀察”圖象，到分析圖象“特征”，再到確定函數(shù)中變量x、y 之間的“變化規(guī)律”，從而得出函數(shù)的“特性”，這一探究的過程和方法，是學習初等函數(shù)時不可或缺的。事實上，初中學段后續(xù)研究的二次函數(shù)，高中學段研究的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等，都可以采用與之類似的“探究模式”�？梢�，這種方法很重要，對于學生領悟和理解反比例函數(shù)、建立認識反比例函數(shù)有著重要的意義。我們在運用“類比”的方法，經(jīng)歷探究反比例函數(shù)的過程中，還應注意“趨同求異”，關注反比例函數(shù)與一次函數(shù)之間的差異。?
綜上所述，在學習一次函數(shù)的時候，學生已經(jīng)歷過觀察、分析圖象的特征，抽象、概括函數(shù)性質(zhì)的過程，對探究函數(shù)性質(zhì)所用的探究方法也有一定的了解。通過類比，結合反比例函數(shù)的圖象的性質(zhì)，從使用的方法上不會存在障礙，但由于反比例函數(shù)圖象相對于一次函數(shù)圖象，其形態(tài)豐富、結構復雜，具有自身的特殊性，因此，對反比例函數(shù)性質(zhì)的深入理解和掌握，對性質(zhì)探究中的數(shù)學思想的體會和運用，還有一定的困難。教學中，必須強調(diào)說明由“數(shù)”到“形”、由“形”到“數(shù)”的轉化關系，以“數(shù)”與“形”的轉化為途徑，展開探究活動。在準確畫出反比例函數(shù)的圖象的同時，理解反比例函數(shù)的性質(zhì)，并能靈活應用，解決一些實際問題。
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