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數(shù)學模型在社會各領域中應用的教學研究
數(shù)學模型在社會各領域中應用的教學研究
王岳
�。下殬I(yè)學院，山東濟南250014）
摘要：現(xiàn)代社會中，數(shù)學模型已被廣泛應用于社會各個領域的研究和發(fā)展中。因此，在高職數(shù)學的教學中，教師既要使學生掌握數(shù)學中的思想方法和理論知識，又要善于引導學生將實際問題轉(zhuǎn)換為數(shù)學模型，提高學生建立數(shù)學模型解決問題的能力，為他們將來從事各種職業(yè)時應用數(shù)學模型打下良好基礎。本文結(jié)合數(shù)學模型在各領域中的應用案例研究，提出在數(shù)學教學中應重視對高職生進行突出專業(yè)特色和職業(yè)特點的職業(yè)化教學。
關鍵詞：數(shù)學模型；經(jīng)濟領域；軍事領域；司法領域；電學領域
基金項目：濟南職業(yè)學院2013年度教改立項課題“依托數(shù)學建模競賽，促進高職數(shù)學教學改革”（編號：2013JG0334）
作者簡介：王岳（1978-），女，山東濟南人，碩士，研究方向：數(shù)學課程與教學論。
數(shù)學作為一種強有力的工具，已經(jīng)被滲透到社會生活的各個領域中。數(shù)學模型已被廣泛應用于社會各個領域的研究和發(fā)展中，為人們的日常生活、技術發(fā)展和科技進步做出越來越直接的貢獻。
一、數(shù)學模型在經(jīng)濟領域中應用的教學研究
在經(jīng)濟領域中，數(shù)學模型無處不在，數(shù)學的應用理論和建模方法已滲透到經(jīng)濟領域的各方面。
案例1：【企業(yè)年度總成本預測】某企業(yè)生產(chǎn)一種設備，在2008年到2012年的五年內(nèi)該設備的產(chǎn)量和成本分別為：2008年共生產(chǎn)10臺設備，每臺成本600元；2009年共生產(chǎn)40臺設備，每臺成本300元；2010年共生產(chǎn)30臺設備，每臺成本450元；2011年共生產(chǎn)20臺設備，每臺成本550元；2012年共生產(chǎn)50臺設備，每臺成本400元。若該企業(yè)計劃該設備的年度產(chǎn)量為60臺，試預測該企業(yè)的年度總成本。
數(shù)學模型：線性回歸模型：解由題意得，確定了單位成本后，總成本y只受到產(chǎn)量x的影響，總成本y的線性函數(shù)可表示為y=a+bx（a，b為待定系數(shù)）。假設預測的總成本的數(shù)學模型為yi=a+bxi，要使yi與y最接近，根據(jù)最小二乘法，只要使它們所有誤差的平方和Q為最小即可，對a，b分別求一階偏導數(shù)，并令這兩個偏導均為零，從而解出b=290，a=3800。從而得到預測的年度總成本函數(shù)為：y=2800+290x。因此，該企業(yè)計劃年度生產(chǎn)60臺設備時，預測年度總成本為：y=21200元。
由上述a，b的求解過程可以看出，任意給定一組數(shù)據(jù)（xi，yi），都可以推算出a，b，建立一元線性回歸方程。因此為了把握預測的準確程度，我們還要對所求結(jié)論進行相關性檢驗，計算相關系數(shù)。設相關系數(shù)為r（-1≤r≤1），的絕對值越接近于1，說明x與y之間的線性關系越密切。r=1時，說明x與y之間完全正相關；r=-1時，說明x與y完全負相關；r=0時，說明x與y之間不存在任何聯(lián)系。此題在預測分析中由于產(chǎn)量或成本均不會為負，因此只有r趨近于1時才有實際意義。利用相關系數(shù)的計算公式最終求得本例中r=0.9073，這說明該種設備的產(chǎn)量與設備總成本具有高度的正向相關性。因此，以上對該企業(yè)年度總成本的預測結(jié)果是可靠的。
實踐證明，用數(shù)學模型對經(jīng)濟預測時所作的定性和定量分析是嚴謹?shù)摹⒖b密的、可信的。對財經(jīng)類和經(jīng)管類學生，案例的選擇要更多地結(jié)合當今社會的經(jīng)濟發(fā)展背景，突出專業(yè)特色，使學生切實感受到數(shù)學的應用性和價值。
二、數(shù)學模型在軍事領域中應用的教學研究
在軍事方面，數(shù)學模型的應用越來越廣泛，大大加快了軍事科學的前進步伐。軍事發(fā)展中逐漸形成的軍事統(tǒng)計學、軍事運籌學等都是在現(xiàn)代戰(zhàn)爭中取勝所必不可少的工具。數(shù)學模型在現(xiàn)代戰(zhàn)爭中的應用更是任何龐大、優(yōu)良的軍隊也無法替代的。其中，概率統(tǒng)計模型在分析、制定作戰(zhàn)方案方面就起到了重要作用。
案例2：【盟軍運輸船編隊方案】在二戰(zhàn)中，盟軍為了和德軍作戰(zhàn)，其大批量的軍用物品都要通過船隊從大西洋運往各個戰(zhàn)場。起初，負責運送軍用物資的盟軍船經(jīng)常被德國潛艇襲擊，損失十分慘重。針對德軍的潛艇戰(zhàn)，美軍將領專程請來一位數(shù)學家出謀劃策。數(shù)學家運用概率論分析后發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，很快解決了問題。
數(shù)學模型：概率模型：解因為運輸船隊與敵軍潛艇在運輸海域中有可能相遇，也有可能不相遇，所以船隊與敵軍潛艇相遇是一個隨機事件。如果我們從概率論的角度來看待這一問題，能發(fā)現(xiàn)一定的規(guī)律：對于一定數(shù)量的船只，編隊的規(guī)模越小，船隊的批次就越多，途中遭遇敵潛艇的可能性也就越大。因為敵潛艇的數(shù)量與船隊的數(shù)量相比肯定是較少的，且潛艇所載彈藥有限，因此每次襲擊，不論船隊規(guī)模多大，被擊沉的數(shù)目應該大致相等。所以一旦船隊與敵潛艇相遇，船隊的規(guī)模越小，每艘船被擊中的概率就越大。
假如盟軍的運輸船共有100只，若對所有運輸船進行編隊，按每隊20只船，可編成5隊；若按每隊10只船，可編成10隊。這兩種編隊方式與德軍潛艇相遇的可能性之比為5∶10，即1∶2。假設每次德軍潛艇擊毀5只運輸船，那么，上述兩種編隊方式中每艘船被擊沉的可能性之比為5/20∶5/10=1∶2。從以上兩方面分析來看，兩種編隊方式中每艘運輸船與敵潛艇相遇并被擊中的可能性之比為1∶4。這說明，對于100艘運輸船，編成5隊比編成10隊的危險性小。即：船隊規(guī)模越大，批次越少，被敵潛艇襲擊的風險越小。
數(shù)學家用數(shù)學模型分析后給出了改進編隊和運送方式的建議，盟軍統(tǒng)帥依此建議，命令運輸船不再由各個港口分散啟航，而是讓船隊在指定海域集合后在護航艦護衛(wèi)下集體通過危險海區(qū)，再分別駛向目標港口。船隊調(diào)整后，很快盟軍船隊被德戰(zhàn)艦擊中的概率就由原來的25%銳減為1%，此舉大大降低了盟軍的損失，確保了軍用物資的有效供應。美國軍方因此大贊：一名優(yōu)秀數(shù)學家的作用，超過十個師的兵力！
在很多軍事院校，數(shù)學是一門重要課程，現(xiàn)代軍事領域離不開數(shù)學的分析和輔助，特別是運籌學、微積分、概率統(tǒng)計等應用都十分廣泛。教師在教學中可多選用以往戰(zhàn)爭中應用數(shù)學知識和思想方法來解決實際問題的軍事案例。
三、數(shù)學模型在司法領域中應用的教學研究
“司法”在一般人看來是與數(shù)學沒有太大關系的領域，但在司法界，數(shù)學模型的應用已經(jīng)在案件偵破和司法鑒定過程中應用非常廣泛，而且起到了至關重要的作用。
案例3：【刑事偵查中死亡時間的鑒定】牛頓冷卻定律指出：物體在空氣中冷卻的速度與物體溫度和空氣溫度之差成正比，現(xiàn)將牛頓冷卻定律應用于刑事偵查中死亡時間的鑒定。在死者被謀殺后，尸體的溫度將按照牛頓冷卻定律從初始體溫的37℃逐漸開始下降。
�。�1）假定所處環(huán)境中空氣的溫度為20℃不變，若兩小時后尸體的溫度降為35℃，試求尸體的溫度H對于時間t的變化規(guī)律。
�。�2）若尸體在十六點整被發(fā)現(xiàn)，當時溫度是30℃，試推算受害人被殺應發(fā)生在幾點？
數(shù)學模型：常微分方程模型：解設尸體的溫度為H（t）（t 從被殺時計），根據(jù)題意，尸體的冷卻速度：dH/dt與尸體溫度H和空氣溫度之差成正比。即：dH/dt=k（H-20），其中k是非零常數(shù)，初始條件為H（0）=37。對方程分離變量得：，兩端積分得：ln（H-20）=kt+C1，求得方程通解為：H=20+Cekt（其中C=eC1）。
將初始條件H（0）=37代入通解，得C=17，因此滿足條件的特解為H=20+17ekt。為確定k，根據(jù)兩小時后尸體溫度為35℃這一條件，代入有：35=20+17e2k，求得k≈-0.063，于是尸體的溫度函數(shù)為：H=20+17e－0.063t。將H=30代入，則30=20+17e-0.063t，解得t≈8.4（h）。于是可以判定謀殺發(fā)生在尸體被發(fā)現(xiàn)時16點前的8.4小時，即在上午7點36分發(fā)生的。應用常微分方程模型，準確求出案發(fā)時間。
常微分方程模型可以解決和變化率相關的很多問題，是一種應用十分廣泛的數(shù)學模型，教師在講授微分方程這部分章節(jié)時，不僅要讓學生掌握如何求解各類方程，更要讓學生學會在具體問題的分析、解決過程中，把實際問題的描述抽象成數(shù)學語言，正確地建立數(shù)學模型，這是數(shù)學教學中我們要引導學生重點掌握的思想方法。
四、數(shù)學模型在電學領域中應用的教學研究
數(shù)學源于生活，又服務于生活。電學和數(shù)學的關系更是密不可分。三角函數(shù)、復數(shù)、向量、微積分、常微分方程、拉氏變換等數(shù)學工具都在電學里有著廣泛應用。其中，微分模型是在電學中求特定物理量的最值時最有效的工具。
案例4：【最大輸出功率】設在有一個負載電阻的閉合電路中，電源電動勢為E，內(nèi)阻為r（E，r均為常量），問負載電阻R多大時，輸出功率P最大？
數(shù)學模型：微分模型：解消耗在電阻R上的功率為P=I2R，I為回路中的電流，由閉合電路歐姆定律知
電學領域是對數(shù)學知識需求較高的領域，數(shù)學在這類專業(yè)中的應用無處不在，學生必須具備良好的數(shù)學基礎，掌握常用數(shù)學思想方法，才能更好地學習專業(yè)知識。作為給該專業(yè)授課的數(shù)學教師，不僅要具備較強的數(shù)學功底，更要學習和掌握一些電學領域的相關專業(yè)知識。只有成為雙師型的數(shù)學教師才不會出現(xiàn)“重理論輕應用、不能完全滿足專業(yè)需求”的情況。
由上述實例可以看出，讓學生掌握數(shù)學建模思想，學會數(shù)學建模方法并應用于專業(yè)實踐中，是今后教學改革的重點方向。當代高職生，在學習了多門數(shù)學課程后，要善于將數(shù)學理論與專業(yè)實踐和生活實際緊密結(jié)合，發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學，在實踐中學會建立數(shù)學模型，求解數(shù)學模型，培養(yǎng)創(chuàng)新思維，全面提高數(shù)學應用能力。
參考文獻：
[1]任曉燕，王岳。 工程應用數(shù)學[M].北京師范大學出版社，2012.
[2]李艷。數(shù)學模型在經(jīng)濟學中的相關應用分析[J].商業(yè)時代，2012，（6 ）。
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