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淺談?lì)惐人枷朐诔踔袛?shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)踐與探索
淺談?lì)惐人枷朐诔踔袛?shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)踐與探索
重慶市豐都縣包鸞中學(xué) 朱光才
【摘 要】教師在教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)類比思想和方法的滲透與引導(dǎo)，強(qiáng)調(diào)類比的作用和意義，使學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)，促進(jìn)自主學(xué)習(xí)與創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)，建構(gòu)完整的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有效性。
【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；類比思想；教學(xué)實(shí)踐
在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，類比思想是理解概念，鍛煉思維，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的重要手段。為此，教師在教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)類比思想和方法的滲透與引導(dǎo)，強(qiáng)調(diào)類比的作用和意義，使學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)，促進(jìn)自主學(xué)習(xí)與創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)，建構(gòu)完整的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有效性。
一、概念類比，理解本質(zhì)辯異同
在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)是重要的一環(huán)，對(duì)于概念本質(zhì)的理解是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，如何有效的進(jìn)行突破呢？進(jìn)行概念的類比教學(xué)不失為一種有效的途徑與方法。
在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有大量的概念，如果孤立地去理解與記憶這些概念，會(huì)成為學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)負(fù)擔(dān)。但從概念的定義形式上看，有一部分概念的定義形式是相似的。通過(guò)這些概念之間的類比，進(jìn)一步理解概念的本質(zhì)。例如：三角形、四邊形、多邊形概念分別為：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次連接所組成的圖形叫做三角形。由在同一平面且不在同一條直線上的四條線段首尾順次連接所組成的圖形叫做四邊形。由在同一平面且不在同一直線上的多條線段首尾順次連結(jié)所組成的圖形叫做多邊形。從概念的定義形式上來(lái)看，是對(duì)一類圖形條件的限制，形式上是一致的，不同之處，一是三角形定義中沒(méi)有“在同一平面”，二是組成線段條數(shù)，其他都是相一致的。通過(guò)這樣的類比，學(xué)生能從一個(gè)新的角度與高度對(duì)這三個(gè)概念進(jìn)行認(rèn)識(shí)與理解，進(jìn)一步理解概念的本質(zhì)。
二、策略類比，講究學(xué)法求效率
學(xué)生對(duì)新信息的接收是有意義的，是從已有的經(jīng)驗(yàn)與知識(shí)出發(fā)來(lái)學(xué)習(xí)新知識(shí)的，在這一建構(gòu)與認(rèn)識(shí)過(guò)程中，類比起到了非常重要的作用，運(yùn)用整體性解決問(wèn)題策略類比的思想方法，能使學(xué)生輕松地掌握新的數(shù)學(xué)知識(shí)與方法，在探索中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率。在教學(xué)反比例函數(shù)時(shí)，采用整體解決問(wèn)題類比的思想，把正比例函數(shù)，一次函數(shù)圖像性質(zhì)作為原問(wèn)題，教師引導(dǎo)學(xué)生自主探究、動(dòng)手操作、合作交流，學(xué)習(xí)目標(biāo)問(wèn)題——反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)。教學(xué)流程設(shè)計(jì)如右。由于在教學(xué)中滲透了類比思想，在學(xué)習(xí)反比例函數(shù)k的幾何意義時(shí)，學(xué)生得到了與課本不同的結(jié)果。學(xué)生類比正比例函數(shù)（正比例函數(shù)k的變化與它的圖形產(chǎn)生直接的動(dòng)態(tài)關(guān)系），在電腦上改變k的取值，通過(guò)實(shí)際的操作，發(fā)現(xiàn)如下新的規(guī)律：
生1：當(dāng)k>0時(shí)，k越小，反比例函數(shù)的圖象越來(lái)越靠近坐標(biāo)軸；當(dāng)k<0時(shí)，k越大，反比例函數(shù)的圖象越來(lái)越靠近坐標(biāo)軸。
生2：也可以用一句話來(lái)說(shuō)，即｜k｜越小，反比例函數(shù)的圖象越靠近坐標(biāo)軸。
事實(shí)上，在備課時(shí)根本沒(méi)有想到k與圖象的這一關(guān)系，只是憑自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生這一獨(dú)立自主的發(fā)現(xiàn)，極大地震撼了我，使我認(rèn)識(shí)到學(xué)生的潛力是無(wú)限的，同時(shí)也說(shuō)明了在數(shù)學(xué)教學(xué)中類比思維的滲透，培養(yǎng)了學(xué)生的自主探索的能力，為學(xué)生的創(chuàng)新提供了思維的空間與方法。
在解決數(shù)學(xué)中的一個(gè)新問(wèn)題時(shí)，學(xué)生可以通過(guò)聯(lián)想，搜索學(xué)過(guò)的知識(shí)與解決問(wèn)題的策略，找到一個(gè)原問(wèn)題，通過(guò)與原問(wèn)題的解決策略進(jìn)行類比，用原問(wèn)題的解決策略去解決目標(biāo)問(wèn)題。例如，教學(xué)“求多邊形內(nèi)角和”。學(xué)生通過(guò)聯(lián)想搜索，回憶求四邊形內(nèi)角和的策略——把四邊形分解為三角形，然后用三角形內(nèi)角和得到四邊形的內(nèi)角和。是否可以用同樣的策略來(lái)解決多邊形的內(nèi)角和呢？通過(guò)圖形的分割即從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)角線，把多邊形分割成（n-2）個(gè)三角形，在利用三角形內(nèi)角和就可以求的多邊形的內(nèi)角和等于（n-2）×180°。
知識(shí)只有構(gòu)建成網(wǎng)絡(luò)后，學(xué)生才能從更高的角度整體地把握知識(shí)，而知識(shí)結(jié)構(gòu)類比就是建立知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的一種有效的好方法，它能揭示這些知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系。通過(guò)知識(shí)結(jié)構(gòu)類比能使知識(shí)得到橫向拓寬，也能進(jìn)行遞進(jìn)的深化。
三、思維方式類比，突破難點(diǎn)會(huì)創(chuàng)新
數(shù)學(xué)思維的呈現(xiàn)形式常常是隱蔽的，難以從教材中獲取，這就要求教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中，有意識(shí)地、有目的地進(jìn)行思維方法的滲透。通過(guò)數(shù)學(xué)思維的類比，不斷在解決問(wèn)題的過(guò)程中深化引導(dǎo)，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力就會(huì)得到相應(yīng)的提高。在“合并同類項(xiàng)”一課中創(chuàng)設(shè)了如下情景：
�。�1）實(shí)物歸類
教師把學(xué)習(xí)用品、玩具、零食（形狀有圓、方、三角形）混在一起，讓學(xué)生按照自己的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，要求學(xué)生回答以下問(wèn)題：①你的分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么？②假如分類標(biāo)準(zhǔn)一樣，則分類是否唯一？③你有幾種分類方法？
（2）多項(xiàng)式中項(xiàng)的歸類
觀察多項(xiàng)式-2x+8y- 4z+x- y回答下列問(wèn)題：
�、倌阆氚涯男╉�(xiàng)歸為一類？
�、谀闶歉鶕�(jù)什么特征來(lái)分類的？那么3a2b-4ab2-3+5a2b+2ab2+2ab-6ab+8呢？（學(xué)生分小組進(jìn)行討論，并由代表集中發(fā)言，其他組進(jìn)行補(bǔ)充完善）
實(shí)物歸類的主要目的是讓學(xué)生感受生活中存在分類現(xiàn)象，并且通過(guò)實(shí)物分類，讓學(xué)生明確分類的標(biāo)準(zhǔn)與方法，事實(shí)上學(xué)生通過(guò)準(zhǔn)確的實(shí)物分類理解了分類的意義與標(biāo)準(zhǔn)。
再出示多項(xiàng)式，讓學(xué)生進(jìn)行分類，學(xué)生一定會(huì)與實(shí)物分類進(jìn)行類比，也會(huì)有不同的分類方法，比如對(duì)于-2x+8y-4z+x-y，有的學(xué)生利用系數(shù)的正負(fù)來(lái)進(jìn)行分類，而同類項(xiàng)只是分類中的一種特殊情況。
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要充分利用學(xué)生所熟悉的生活背景，把數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)融入到學(xué)生的生活中，通過(guò)“由表及里”類比，獲得數(shù)學(xué)本質(zhì)和模型。象上面生活中的分類方法與標(biāo)準(zhǔn)是原問(wèn)題，是學(xué)生所熟悉的、了解的，由實(shí)物分類類比到數(shù)學(xué)分類，學(xué)生覺(jué)得數(shù)學(xué)并不是那樣的神秘與抽象，離學(xué)生的生活是那樣接近，把日常生活中普實(shí)的方法移植到比較抽象的數(shù)學(xué)中，從而更容易、更切實(shí)地理解數(shù)學(xué)思維，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，降低了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難度，加強(qiáng)了數(shù)學(xué)與實(shí)際的聯(lián)系。
四、反思類比，提高思維深刻性
利用類比方法可以深刻地理解概念、公式、定理的實(shí)質(zhì)，分清新舊知識(shí)的聯(lián)系和區(qū)別，也可以數(shù)題一法，概括出一類問(wèn)題的解法規(guī)律。但也要防止生搬硬套、發(fā)生定勢(shì)思維的錯(cuò)誤。例如：
在七年級(jí)下冊(cè)“線段”的學(xué)習(xí)中曾出現(xiàn)這么一題：一條線段上有n個(gè)點(diǎn)，問(wèn)共有幾條線段？
每個(gè)點(diǎn)出發(fā)可以畫(huà)（n-1）條線段，n個(gè)點(diǎn)就構(gòu)成n（n-1）條線段，但是每2個(gè)點(diǎn)之間按照上述方法計(jì)算重復(fù)了一次，所以要除以2，所以共有■n（n-1）條。
運(yùn)用類比的思想，比較容易解決八年級(jí)下冊(cè)“一元二次方程”中的一個(gè)問(wèn)題：一次聚會(huì)，出席的每位代表都和其他代表各握一次手，統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明，一共握手45次，問(wèn)參加聚會(huì)的代表有多少人？
設(shè)參加聚會(huì)的代表有x人。每個(gè)人握手的次數(shù)是（x-1）次，x人就握了x（x－1）次，但是每2個(gè)人之間按照上述方法計(jì)算重復(fù)了一次。所以要除以2，則有x■（x－1）＝45。
上述兩個(gè)問(wèn)題是形變而神不變，學(xué)生在學(xué)習(xí)線段的基礎(chǔ)上，握手問(wèn)題易于解決。但在類比過(guò)程中，不能按其對(duì)象表面的相似機(jī)械地類比，否則容易得出錯(cuò)誤的結(jié)論。
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