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高等數(shù)學(xué)教學(xué)的幾點(diǎn)思考
高等數(shù)學(xué)教學(xué)的幾點(diǎn)思考
重慶理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院高等數(shù)學(xué)教研室 陳 忠 金世剛 田 堅(jiān)
【摘 要】在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)問題情境要根據(jù)具體的教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的身心發(fā)展需要來設(shè)置，教師在以原有的知識為基礎(chǔ)之上，以新知識為目標(biāo)，充分利用數(shù)學(xué)問題情境活躍課堂氣氛，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性和創(chuàng)造性，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生智力和非智力因素的發(fā)展。本文探討了數(shù)學(xué)的美學(xué)意義，在教學(xué)中如何創(chuàng)設(shè)合適的數(shù)學(xué)問題情境，培養(yǎng)學(xué)生提出問的能力。
【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué)；問題情境；教學(xué)思考
筆者從事數(shù)學(xué)教學(xué)工作已20余載，在教學(xué)過程中，深刻體會到學(xué)生和教學(xué)目標(biāo)的差距。細(xì)思之下，總覺得應(yīng)該把它們說出來，以達(dá)到能讓學(xué)生更好掌握，讓同行能間相互借鑒，對教學(xué)能有效促進(jìn)的目的。
一、數(shù)學(xué)的美學(xué)意義是教學(xué)中必不可少的優(yōu)質(zhì)內(nèi)容
數(shù)學(xué)之美古已有之。早在古希臘時(shí)代，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派已經(jīng)論及數(shù)學(xué)與美學(xué)的關(guān)系，畢達(dá)哥拉斯本人既是哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家，又是音樂理論的始祖，他第一次提出“美是和諧與比例”的觀點(diǎn)。我國當(dāng)代著名數(shù)學(xué)家徐利治指出：“數(shù)學(xué)美的含義十分豐富，如數(shù)學(xué)概念的簡單性、統(tǒng)性、結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的協(xié)調(diào)性、對稱性，數(shù)學(xué)命題與數(shù)學(xué)模型的概括性、典型性與普適性，還有數(shù)學(xué)中的奇異性等等都是數(shù)學(xué)美的具體內(nèi)容”。在教學(xué)中，通過創(chuàng)設(shè)情境，將抽象的概念具體化、形象化，這樣易于學(xué)生理解。
讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)是思維的體操。數(shù)學(xué)思想是我們認(rèn)識世界的基礎(chǔ)和有效工具。例如，在講數(shù)列極限與函數(shù)極限的分析定義是用“ε-N”、“ε-δ”語言給出的，定義中具有任意性與確定性，ε的任意性通過無限多個(gè)相對確定性來實(shí)現(xiàn)，ε的確定性決定了N 和ε的存在性。這種定義精細(xì)地刻劃了極限過程中變量之間的動態(tài)關(guān)系，表達(dá)了極限概念的本質(zhì)，并且為極限運(yùn)算奠定了基礎(chǔ)，學(xué)過微積分的人無不贊賞它的完美，評價(jià)它是最嚴(yán)密、最精煉、最優(yōu)美的語言。這些，可以在課堂上很激情地講出來，直接撞擊學(xué)生的內(nèi)心，堅(jiān)定學(xué)生對數(shù)學(xué)的認(rèn)識，摒棄對數(shù)學(xué)的誤解。又比如，數(shù)學(xué)中許多理論與人們的直覺相背離，有時(shí)讓人覺得不可思議，給人以無盡的遐想，有時(shí)又帶給人一種“山窮水復(fù)疑無路，柳岸花明又一春”的絕妙境界，它印證了我國數(shù)學(xué)家徐利治所說的：“奇異是一種美，奇異到了極限更是一種絕佳的美”。例如，有無限個(gè)連續(xù)點(diǎn)（無理點(diǎn)）和無限個(gè)間斷點(diǎn)（有理點(diǎn)）的黎曼函數(shù)f（x）=x（為既約真分?jǐn)?shù)）0x=0，1及（0，1）內(nèi)的無理數(shù)；在任一點(diǎn)都不連續(xù)狄利克雷函數(shù)f（x）=0，x∈Q，x=1，x∈Q；處處連續(xù)但處處不可微的魏爾斯特拉斯函數(shù)f（x）=bcos（απx）（其中α為奇數(shù)，0＜b＜1，ab＞1+π），這些函數(shù)我們都無法準(zhǔn)確地描繪出它的圖像。但是黎曼函數(shù)、狄利克雷函數(shù)和魏爾斯特拉斯函數(shù)的美就恰似一幅幅神奇的抽象畫，雖奇異古怪，卻是數(shù)學(xué)家們依靠想象而產(chǎn)生的藝術(shù)精品。這些內(nèi)容對于大一新生來說，無疑是很新鮮很有吸引力的，能起到激發(fā)強(qiáng)烈的求知欲的效果的。
二、創(chuàng)設(shè)合適的數(shù)學(xué)問題情境，培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力
在高等數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，只有使學(xué)生意識到問題的存在，才能激發(fā)他們學(xué)習(xí)中思維的火花。學(xué)生的問題意識越強(qiáng)烈，他們的思維就越活躍、越深刻、越富有創(chuàng)造性。而能讓學(xué)生提出問題，則需要一定的情景創(chuàng)設(shè)。比如，在講授過程中，舉例時(shí)可以賣點(diǎn)關(guān)子，甚至故意做錯(cuò)，將問題擺在學(xué)生面前，促使學(xué)生思考。這樣，往往有事半功倍的效果。比如，講中值定理中證明柯西中值定理時(shí)，故意用拉格朗日中值定理的結(jié)論作比來證明。然后，指出其錯(cuò)誤，再進(jìn)行證明，使學(xué)生既加深了對輔助函數(shù)引入的重要，又對定理本身有著深刻的理解和記憶。在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，我們知道很多同學(xué)反映數(shù)學(xué)單調(diào)、枯燥、不好學(xué)。實(shí)際上，情境創(chuàng)設(shè)能吸引學(xué)生積極參與和主動學(xué)習(xí)，讓他們從數(shù)學(xué)中找到無窮的樂趣。所以，教師只要能為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個(gè)良好的數(shù)學(xué)問題情境，激發(fā)起學(xué)生對數(shù)學(xué)問題探究的熱情，調(diào)動起參與學(xué)習(xí)的興趣，我們的教學(xué)也能更顯輕松，學(xué)生也會變被動為主動。
在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師要善于創(chuàng)設(shè)具有啟發(fā)誘導(dǎo)性的數(shù)學(xué)問題情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和好奇心，使學(xué)生在教師所創(chuàng)設(shè)的數(shù)學(xué)問題情境中自主的學(xué)習(xí)，積極主動的探索數(shù)學(xué)知識的形成過程，進(jìn)而把書本知識轉(zhuǎn)化為自己的知識，真正做到寓學(xué)于樂。設(shè)懸念不失為一種有效辦法。懸念作為一種學(xué)習(xí)心理機(jī)制，是由學(xué)生對所接觸的對象感到疑惑不解，而又想急于解決它從而產(chǎn)生的一種積極心理狀態(tài)。它對大腦皮質(zhì)有強(qiáng)烈而持續(xù)的刺激作用，使你一時(shí)對問題既猜不透、想不通，又甩不開、放不下。因此，懸念的設(shè)置，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)和興趣，使思維活躍，豐富想象，追溯記憶，有利于培養(yǎng)學(xué)生克服困難的毅力。教師在課堂教學(xué)中，善于捕捉時(shí)機(jī)，恰當(dāng)利用問題，創(chuàng)設(shè)懸念，可以觸動學(xué)生探索新知識的心理，提高課堂教學(xué)效率。例如，在學(xué)習(xí)變上限函數(shù)的定積分時(shí)，可以提出這樣的問題讓同學(xué)思考：①中自變量是什么？②對其導(dǎo)數(shù)如何求？對于前一個(gè)問題比較好回答，后一個(gè)題在講授中，我們可以先回憶一元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)。同學(xué)們自然得出了結(jié)論。從而，我們可以看出在課堂教學(xué)中設(shè)置學(xué)生已經(jīng)了解的原理作為提問的情境，可以啟發(fā)大多數(shù)學(xué)生進(jìn)行積極思維，調(diào)動同學(xué)們學(xué)習(xí)的積極性。創(chuàng)設(shè)類比情境，數(shù)學(xué)概念在很大程度上可以說都是通過類比來引出的。所以，類比推理是非常重要的。即根據(jù)兩個(gè)研究對象具有某些相同或相似的屬性，推出當(dāng)一個(gè)對象尚有另外一種屬性時(shí)，另一個(gè)對象也可能具有這一屬性或類似的思想方法，也就是從對某事物的認(rèn)識推到對相類似事物的認(rèn)識。高等數(shù)學(xué)中有許多概念具有相似的屬性，對于這些概念的教學(xué)，教師可以先讓學(xué)生研究已學(xué)過的概念的屬性，然后創(chuàng)設(shè)類比發(fā)現(xiàn)的情境，引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)，嘗試給新概念下定義。這時(shí)，教師可以舉身邊常見的例子加以講解。比如，我們知道冬天氣溫常常零攝氏度以下，到了春天氣溫漸漸升到零攝氏度以上，那么氣溫由零攝氏度下升到零攝氏度上，中間肯定要經(jīng)過一點(diǎn)零攝氏度，這個(gè)零攝氏度就是我們所說的零點(diǎn)。再輔以教材習(xí)題中第4題，結(jié)合實(shí)際問題，更顯零點(diǎn)定理的功能強(qiáng)大。這樣，學(xué)生的感受肯定是很深的。實(shí)際上，還可以在授課過程中通過變式達(dá)到目的。所謂變式情境就是利用變換命題，變換圖形等方式激起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和欲望，以觸動學(xué)生探索新知識的心理，提高課堂教學(xué)效率。如在講授中值定理時(shí)，在學(xué)習(xí)完羅爾定理后，教師可以進(jìn)一步指出羅爾定理的三個(gè)條件是比較苛刻的，它使羅爾定理的應(yīng)用受到了限制，如果取消“區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值相等”這個(gè)條件，那么在曲線上是否依然存在一點(diǎn)，使得經(jīng)過這點(diǎn)曲線的切線仍然平行與兩個(gè)端點(diǎn)的連線。變化一下圖形，可以很容易得到結(jié)論，那么這個(gè)結(jié)論就是拉格朗日中值定理。這樣經(jīng)過問題的變換一步步地引出要講授的內(nèi)容，學(xué)生就可以很容易地接受新知識。當(dāng)然，創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境的方法不是孤立的，而是相互交融的。教師應(yīng)根據(jù)具體情況和條件，緊緊圍繞住教學(xué)中心創(chuàng)設(shè)適合于學(xué)生思想實(shí)際內(nèi)容健康有益的問題，而又富有感染力的教學(xué)情境。同時(shí)，要使學(xué)生在心靈與情境交融之中愉快地探索，深刻地理解，牢固地掌握所學(xué)的數(shù)學(xué)知識。當(dāng)然，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中創(chuàng)設(shè)情境的方法還有很多，但無論設(shè)計(jì)什么樣的情境，都應(yīng)從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和已有的知識背景出發(fā)，以激發(fā)學(xué)生好奇心，引起學(xué)生學(xué)習(xí)興趣為目標(biāo)，要自然、合情合理。這樣，才能使學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和自信心大增，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和分析問題、解決問題的能力得到提高。
總之，高等數(shù)學(xué)中包含的數(shù)學(xué)美的內(nèi)容是非常豐富的，只要我們善于去觀察，善于去總結(jié)，我們還會有所發(fā)現(xiàn)，有所創(chuàng)新。
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