小學數(shù)學教育研究的新發(fā)展——第六屆國際數(shù)學教育會議討論簡介

第六屆國際數(shù)學教育會議于1988年7月27日至8月3日在匈牙利首都布達佩斯舉行。會上除了安排一個組專門討論小學數(shù)學教育中的問題以外，有些專題組的討論，以及小字報、專題報告會等也涉及到小學數(shù)學教育方面的問題。根據(jù)所了解的材料，對會議中所反映的小學數(shù)學教育研究的新發(fā)展，概要地介紹如下。

一 強調(diào)學習過程

　　一些代表認為，對應于教的過程，有必要提出學的過程。數(shù)學教育中重要的一點是如何彌合教與學之間的裂縫，如何使教數(shù)學與學數(shù)學盡可能互相伴隨著。提出這個問題的原因，主要是從促進學生在數(shù)學方面的進步，或者說逐漸的數(shù)學化來考慮的。認為數(shù)學化的進程的組成部分有：做模型、公式化、符號表示等。要通過教數(shù)概念、數(shù)的運算方法等來研究和分析教數(shù)學的特點，同時也不斷地進行逐漸的數(shù)學化過程。有一位代表以教乘法的初步認

　　識為例，說明引導學生由具體逐步抽象的過程。還有一位代表用除法（如）作例，說明從具體的實際問題出發(fā)，引導學生先想出非正規(guī)的分的方法，求出得數(shù)以后，逐步研究出一般的除的方法，在這之后再類推到被除數(shù)是較大數(shù)的除法。但是也有的代表認為，也不宜把這個過程拉得很長，還要研究如何用較少的時間使學生學會一般的除的方法。

二 新技術(shù)對小學數(shù)學教育的影響

　　與會代表大都認為新技術(shù)對于中小學數(shù)學教育具有很大的促進作用。使用新技術(shù)，特別是微型電子計算機，有助于理解數(shù)學概念；有助于掌握一些基本技能，特別是解決實際問題和幾何作圖的技能；有助于提高學生學習數(shù)學的興趣，使學生從過繁的機械運算中解放出來；還有助于改進數(shù)學教育的評價方法。

　　與會者著重討論了新技術(shù)對小學數(shù)學課程內(nèi)容的影響。有人認為，隨著新技術(shù)的出現(xiàn)和使用，現(xiàn)行的教學內(nèi)容將有很多被刪掉，而加入一些新內(nèi)容，并強調(diào)要使學生學會一些數(shù)學方法，如收集、翻譯數(shù)據(jù)，有條理地排列，概括，歸納和演繹，做模型，類推，化簡等。但也有人提出質(zhì)疑：在數(shù)學知識和技能都很差的基礎(chǔ)上，能學好數(shù)學方法嗎？有人認為，口算、筆算、估算、工具算等各種計算方法，只要在生活中和進一步學習中有用處，仍然應該學會，但要重理解、思考和評價，根據(jù)不同情況來選用。不少學者認為，計算器雖然有很大用處，但筆算仍是重要的，因此傾向于小學高年級再學習使用計算器。而且不能只把計算器作為一種計算工具，還要用它作為教具幫助理解數(shù)學概念，發(fā)展學生思維。因此使用計算器會引起內(nèi)容和方法兩方面的改革。

　　有的學者談到新技術(shù)對教師的任務及其教學方法的影響問題。認為使用計算機以后，增加了學生獨立學習的成份，教師的作用會起一定的變化。教師的任務不是傳輸知識，而是組織學生積極活動，引導學生去探索和發(fā)現(xiàn)知識，讓兒童自己構(gòu)建知識，培養(yǎng)合理的思維。由于新內(nèi)容、新技術(shù)和新教法都影響著數(shù)學教育的目標，因此改進數(shù)學教育的關(guān)鍵因素就是繼續(xù)提高教師的專業(yè)水平。

　　會議也提出了使用新技術(shù)對教科書的影響問題。有人認為，由于計算機能為理解數(shù)學概念、訓練技能以及解問題提供材料，因此將會改變數(shù)學教科書的結(jié)構(gòu)。蘇聯(lián)一位學者強調(diào)，現(xiàn)代的數(shù)學教科書應該有助于發(fā)展學生的創(chuàng)造性潛能。

　　會議上有的代表介紹了在家庭作業(yè)及課外輔導方面引入新技術(shù)的情況。例如，有人調(diào)查英國一些學校的學生家庭中擁有微型計算機的已超過60％，很多學生利用微機編程序來完成一些家庭作業(yè)。美國一家電視廠，把小學數(shù)學的主要內(nèi)容制成錄相帶，配合學校的數(shù)學教學，每天在電視臺播放半小時，不僅學生收看，而且家長和教師也收看，取得很好的效果。也有的國家有人把小學高年級的內(nèi)容，如質(zhì)數(shù)和合數(shù)，整除性的檢驗，多邊形和多面體等，編成電視劇系列。其目的是通過數(shù)學概念的學習與愉快的體驗的聯(lián)系，來激發(fā)學生對數(shù)學的學習興趣。

三 錯誤在學習數(shù)學過程中的作用

　　近年來，數(shù)學教育工作者對錯誤在數(shù)學學習過程中的重要作用越來越重視。1987年數(shù)學學習國際組織在加拿大開會時曾進行過專門討論。這次會議上小學組就此問題也進行了研究。大都認為，學生在學習中出現(xiàn)錯誤和誤解，有助于教師確定學生在學習方面存在的問題的類型。教師只有弄清這一點，才能很好地做出自己的教學計劃，去幫助學生消除錯誤。錯誤和誤解都是基于不適當?shù)睦斫�。但是教師通過與學生討論錯誤，使他們看到錯誤之所在以及錯誤的原因，可以有效地消除錯誤，而且能使學生加強對數(shù)學的一般理解。還有人提出，不應把錯誤僅僅看作是教師用以診斷學生學習中的困難和尋找消滅錯誤的策略的工具，還應把它看作是激發(fā)學生探索數(shù)學知識的動機和手段。要使學生認識到出現(xiàn)錯誤并不是壞事，它為進一步進行教學活動（包括解問題、提問題、批判的思考等）提供了機會。要著重引導學生分析討論為什么是錯誤，而不只是如何把它改正過來。如果善于把錯誤作為質(zhì)詢和探究的出發(fā)點，就會使學生得到更大的益處。

四 關(guān)于解問題的教學的研究

　　近些年來，解問題的教學一直是各國數(shù)學教育工作者著重研究的一個問題。這次會議著重研究以下兩個問題：1.如何幫助學生理解問題的情境；2.如何教學生學會使用解題的一般策略。

　　有的代表指出，傳統(tǒng)的教學解問題的方法，往往是由教師給出一個范例，讓學生模仿。教師不僅沒有給學生準備真實的問題情境，也沒有教給學生一般的解題策略。這樣既不能提高學生解問題的能力，也不能提高他們解問題的積極性。

　　為了幫助學生很好地理解問題的情境，有的代表提出，要引導學生弄清題里有關(guān)的事實數(shù)據(jù)，確定解題的目標以及這些事實數(shù)據(jù)之間的關(guān)系。會上有的代表介紹了他們對影響解題策略的因素所進行的研究。有人認為，問題的易難與其具體、抽象的程度以及有無事實或有無假設(shè)有密切關(guān)系。一般地說，具體的比抽象的要容易些，有事實的比假設(shè)的要容易些。還有人研究認為，一個數(shù)學問題，既有數(shù)學結(jié)構(gòu)，又有邏輯—語言結(jié)構(gòu)，這兩者都影響著學生的解題策略。此外，學生的解題策略還受著學生生活經(jīng)驗的影響。

　　關(guān)于如何教學生學會解數(shù)學問題的一般策略，有人認為，學生解題時包含著復雜的心智活動，如聯(lián)系、分析、分類、想象、選擇、作計劃、預測、推論、心算、檢驗、評價等。要根據(jù)學生解題時心智活動的特點給以指導。有的代表強調(diào)，通過自我提問，提高學生的認知理解水平，培養(yǎng)學生自己監(jiān)督、調(diào)節(jié)他們認知活動的能力（即所謂超認知能力），是提高學生解題能力的重要途徑。一位代表在小學四年級進行試驗，開始由教師示范，聯(lián)系數(shù)學問題的情境和具體任務，自問自答。如：“首先我需要做什么？——我必須弄清這道題要我做什么。實際上發(fā)生了什么事？那么我知道什么可能對解題有幫助？我以前是否見過這樣的問題？題里的條件是太多了還是太少了？我能把它找出來嗎？我能想出一個類似的或者比較簡單的情境嗎？合理的答案可能是什么？……”學生熟悉這種自問自答的方法以后，開始練習自己設(shè)問，自己回答并加以評價。一年以后，大多數(shù)學生能自己構(gòu)建解題思路，顯示出這種方法對提高學生解題能力以及改變學生對數(shù)學的態(tài)度具有很大的影響。

五 關(guān)于一般教學方法的研究

　　會議對于一般教學方法沒有進行專門討論，但是談到其他問題時，涉及到一些教學的原則問題，值得注意。例如，談到教師的培訓問題時，提出知識不要由教師來傳輸，而要由兒童來構(gòu)建；強調(diào)教師要能促進學生提問以及對數(shù)學的應用的探究。有的代表在談到如何評價教師的教學方法時，著重在課堂上是否做到：學生的學多于教師的教，個別教學與集體教學平衡，學生的相互作用，發(fā)展學生的合理思維技能與一般的解題技術(shù)。

　　有些代表介紹了對新教學方法的試驗研究。例如，有的代表采用探究法進行教學，鼓勵學生自己發(fā)現(xiàn)數(shù)學原理。在探究問題時，學生要收集數(shù)據(jù)，進行推斷。如練習普通分數(shù)化小數(shù)時，讓學生探究什么樣的分數(shù)可以化成有限小數(shù)。他認為，認識的好奇心是引起動機的重要因素。動機越強，學習的堅定性越大。他還認為，學具在探索問題時起著重要的作用，可以促使學生自己去發(fā)現(xiàn)數(shù)學原理。特別是對差生，可以產(chǎn)生較大的效果。有的代表試驗用所謂“有引導和對話的自學法”。指出這種教學方法實際上是講解、做中學、發(fā)現(xiàn)和程序教學這四種方法與古希臘的對話（討論）法的結(jié)合。強調(diào)讓學生自己去學習經(jīng)過特殊設(shè)計的教科書，通過細致計劃好的對話使學生對所學的新課題得到充分的理解。這些活動都是在教師的監(jiān)督和引導下進行。經(jīng)過試驗，學生獲得的知識和解題能力都比用傳統(tǒng)的講解法好。但是也指出最困難的問題是編寫和印刷教科書。還有的代表強調(diào)采用使學生獨立工作的方法。認為保證學生有獨立工作的條件很重要。教師的指導和鼓勵學生學習應有一定的比例，盡力給學生以充分的時間去思考、實驗和討論。但是對學生的獨立作業(yè)的安排要有專門的準備。

六 對高能學生的數(shù)學教育

　　這次會議很重視高能學生的數(shù)學教育問題。有些代表指出，傳統(tǒng)的數(shù)學教學只注意中等水平的學生。這是自然的，因為這些學生構(gòu)成了大多數(shù)。但是另一方面，人們也已認識到，高能學生對于發(fā)展一個國家的技術(shù)和文化所具有的重大作用。每個國家都盡可能使高能學生學得多一些、深一些、快一些，以便為他們的未來的活動做更好的準備。但是，各國采取的措施不盡相同。有些代表在會上介紹了本國的經(jīng)驗。例如，匈牙利在一些學校中設(shè)有特殊班，招收數(shù)學成績好的學生，每周上數(shù)學課近10小時。有的學校創(chuàng)辦“數(shù)學下午”，為一些高能學生擴展一些新知識。保加利亞除設(shè)有加強數(shù)學學習的特殊學校（從一年級開始）外，在普通中小學還分成三個水平：1.必修的普通數(shù)學，一般每周4～5課時，教以系統(tǒng)的數(shù)學知識和技能，以解決日常生活和實踐中的問題；2.自由選修數(shù)學，從六年級起開設(shè)，每周2課時，目的在使能力較高并對數(shù)學有興趣的學生獲得較高的理論水平，并了解現(xiàn)代數(shù)學及其應用；3.選修數(shù)學，從四年級起開設(shè)每周2課時，目的是在必修的普通數(shù)學的基礎(chǔ)上擴展數(shù)學知識，或者從數(shù)學專門領(lǐng)域獲得一些數(shù)學知識和能力，以發(fā)展學生的個人創(chuàng)造性。在美國和澳大利亞的一些學校中，建立數(shù)學俱樂部，或開設(shè)暑期學校。在聯(lián)邦德國則設(shè)“MATHEMA”課外學習項目，以提高高能學生的數(shù)學水平。