* 這里不管用什么方法，用數(shù)手指的方法算出正確結(jié)果的也算在內(nèi)。

　　4.一般每小節(jié)教學(xué)之前與實驗教師備一次課。第一次實驗時，由于只編一部分實驗教材，未能完全按照預(yù)先計劃的課時進(jìn)行教學(xué)；第二次實驗時，完全按照預(yù)先計劃的課時進(jìn)行教學(xué)。

　　5.對實驗情況的收集和研究，主要采取以下幾種方法：做聽課記錄，階段測試，個別查問，對比測試，專項調(diào)查，對記錄、測試結(jié)果進(jìn)行分析、討論。

　　著重分析以下幾個問題。

　�。ㄒ唬╆P(guān)于提早出現(xiàn)等號、大于號、小于號

　　在現(xiàn)行通用教材中，等號是在開始教加法時出現(xiàn)的，大于號、小于號是在第二冊教學(xué)求兩個數(shù)相差多少的應(yīng)用題時出現(xiàn)的。實驗教材改在準(zhǔn)備課中教比較兩組物體多少時出現(xiàn)，以后結(jié)合數(shù)的認(rèn)識和計算，做一些數(shù)的大小比較的練習(xí)，如7＞6，5+3＜9等。（圈里的符號要求兒童填）

　　從實驗情況看，開始教學(xué)大于號、小于號，多數(shù)兒童能掌握，有少部分兒童不知開口朝向較大的數(shù)。學(xué)完10以內(nèi)加減法，絕大多數(shù)掌握得比較好。測試結(jié)果如下：

　　提早出現(xiàn)大于號和小于號，是近20年來小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)發(fā)展趨勢之一。如蘇聯(lián)、民主德國在一年級認(rèn)l、2時都出這兩個符號，英、法兩國也出得比較早。從實驗情況看，提早出現(xiàn)這兩個符號是完全可能的。因為兒童已經(jīng)有了比較物體的數(shù)量多少的經(jīng)驗，這里只是把這種比較符號化；而這兩個符號形象易懂，兒童只要記住開口朝向較大的數(shù)就不難掌握。在實驗中還看到出現(xiàn)這兩個符號有以下好處：1.在以后認(rèn)數(shù)時便于用來表示比較數(shù)的大小，從而有利于弄清數(shù)的概念。2.有助于理解“相等”的概念。正如贊科夫所說，只有跟“不等”進(jìn)行比較，才能掌握“相等”這個概念。3.經(jīng)常利用對應(yīng)關(guān)系比較實物多少和數(shù)的大小，可為以后教學(xué)求兩數(shù)相差多少等應(yīng)用題做較好的準(zhǔn)備。4.出現(xiàn)大于號和小于號以后，可以使練習(xí)形式增加變化，有助于培養(yǎng)兒童思維的靈活性。例如，學(xué)完10以內(nèi)加減法，出了一道思考題，3+□＜5，1985年實驗班填對的達(dá)91.6％。教學(xué)時有一點值得注意，最初幾節(jié)課只要讓學(xué)生初步認(rèn)識大于號、小于號，不要求全班一下都掌握，而要在以后的反復(fù)練習(xí)中逐步掌握。

　�。ǘ�）關(guān)于10以內(nèi)加、減法的編排

　　這部分教材進(jìn)行實驗時，由于加強操作，把加、減法結(jié)合著教學(xué)，兒童的學(xué)習(xí)積極性高，掌握知識的質(zhì)量好。實驗的結(jié)果如下：

　　1985年實驗班后來參加本校一年級各班統(tǒng)一測驗，結(jié)果正確率和速度都是最好的。

　　根據(jù)實驗情況初步分析，實驗教材的編排有以下幾點好處：

　　1.使兒童更清楚地理解加減基本式題之間的關(guān)系，便于利用聯(lián)想算出加、減法式題的得數(shù)�，F(xiàn)行通用教材中加、減法雖然穿插編排，但是相互聯(lián)系較少，只是通過少數(shù)練習(xí)題反映它們之間的聯(lián)系。實驗教材從得數(shù)是4的加法和相應(yīng)的減法開始，每次都把加減法對照排列，在兒童操作的基礎(chǔ)上由用一幅圖表示兩個算式（如在4個白木塊和2個黑木塊下面出現(xiàn)4+2=6和2+4=6，在4個綠蘋果和2個紅蘋果下面出現(xiàn)6-2=4和6-4=2），逐步過渡到用一幅圖表示四個算式（如在8個白木塊和1個黑木塊下面出現(xiàn)8+1=9，1+8=9，9-1=8，9-8=1），兒童對10以內(nèi)加、減法逐漸形成明確的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，計算時聯(lián)系數(shù)的組成和加減法的關(guān)系，能較快地算出結(jié)果。在給一幅圖要求兒童看圖寫出兩個加法算式和兩個減法算式時，1984年三個實驗班除了一人不清楚外，其他都明確加減法的關(guān)系，1985年實驗班則全都寫出正確答案。

　　2.加、減法結(jié)合在一起教，減少了單教加法時得數(shù)單一的練習(xí)，調(diào)動了兒童學(xué)習(xí)的積極性。同時，由于兒童在頭腦中逐步形成加、減法的內(nèi)在聯(lián)系，以后學(xué)到得數(shù)是8、9、10的加法與相應(yīng)的減法，他們自己就能把這種規(guī)律性的聯(lián)系運用于新的問題之中，這樣就初步培養(yǎng)了兒童的類化、遷移的能力。

　　3.由于新知識的教學(xué)相對集中，加強了聯(lián)系，兒童又初步有一些類化、遷移的能力，相對地縮短了講授時間，加強了課內(nèi)練習(xí)，從而也減輕了學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。實驗這部分教材時，雖然增加了大于號、小于號，加減混合式題以及用圖畫表示的應(yīng)用題，而教學(xué)的課時數(shù)比現(xiàn)行通用教材的計劃課時數(shù)還稍有減少。

　�。ㄈ�）關(guān)于20以內(nèi)進(jìn)位加法和退位減法的編排

　　1984年實驗時，進(jìn)位加法按照9加幾、8加幾、……的順序編排，同時出現(xiàn)交換加數(shù)位置的式題；退位減法結(jié)合著進(jìn)位加法，每次出現(xiàn)相應(yīng)的減法的所有情況。第二次則按照前述改革要點（4）進(jìn)行實驗。兩次實驗結(jié)果如下：

　　可以看出，根據(jù)1985年教實驗班的教師的實際情況，教學(xué)成績卻接近1984年實驗班的成績，在計算速度方面還超過了1984年的成績。這個班參加本校統(tǒng)一的期末考試，成績也都優(yōu)于其他兩個普通班。

　　下面根據(jù)第二次實驗情況，也聯(lián)系第一次實驗情況，著重分析第二次實驗教材的特點。

　　1.新課的內(nèi)容單一，思路單一，規(guī)律突出，兒童比較容易掌握。如9加幾，都先把第二個加數(shù)分成1和幾，用1和9湊成10；8加幾，都先把第二個加數(shù)分成2和幾，用2和8湊成10；算十幾減9，在熟練9加幾的基礎(chǔ)上，都想9加幾等于被減數(shù)；算十幾減8，在熟練8加幾的基礎(chǔ)上，都想8加幾等于被減數(shù)；……大多數(shù)兒童都能較快地學(xué)會推想方法，并達(dá)到熟練。少數(shù)兒童開始學(xué)減法有些困難，主要是在計算十幾減9、減8時不會用加法逆向聯(lián)想算出減法的得數(shù)；也有少數(shù)兒童雖然能用加法推想，但由于加法不熟練而想錯了得數(shù)；還有個別兒童在想未知的加數(shù)時與湊十的加法混淆，如算15-9想成9+（4）=15，算16-9想成9+（5）=16，誤認(rèn)為想出的數(shù)比和的個位數(shù)少1。（第一次實驗也有類似情況）經(jīng)過及時的輔導(dǎo)，一方面借助逆向聯(lián)想的卡片[如15-9=（ ），9+（ ）=15]教會兒童推想的方法，另一方面加強相應(yīng)的進(jìn)位加法的練習(xí)，兒童逐步都掌握了，以后計算就比較順利，有的后進(jìn)生進(jìn)步還較快。下面列舉1985年實驗班的幾個兒童的進(jìn)步情況：

　　從表中看出，兒童接受新知識的快慢程度是有明顯差別的。有些兒童理解和掌握新知識要經(jīng)歷一個較長的過程。這些兒童暫時處于落后狀態(tài)，但并不都是差生。只要教師明確這一點，及時地、耐心地和有針對性地給以幫助，這個暫時困難可以逐步克服，最后還能取得較好成績。

　　2.新的編排方式有助于發(fā)展兒童智力。在實驗中看到，多數(shù)兒童在學(xué)8加幾時能把已經(jīng)掌握的湊十方法遷移到新的情況中去。教學(xué)時實驗教師有意識地提問：計算9加幾和計算8加幾時都用湊十法，有什么不同的地方？很多兒童能正確地回答。這會促進(jìn)兒童分析、比較能力的發(fā)展。教學(xué)退位減法時，運用加法推算減法的得數(shù)（如15-9，兒童要想9加幾得15，因為9加6得15，所以15減9等于6）這種訓(xùn)練本身就是培養(yǎng)兒童初步推理能力的過程，而且用加算減帶有逆向思維的性質(zhì)，而培養(yǎng)逆向思維是培養(yǎng)思維能力的一個重要方面。前面所舉的少數(shù)兒童感到困難的也正是這一點。但是兒童通過實際操作、觀察演示以及借助逆向聯(lián)想的卡片練習(xí)，逐漸掌握了推想的方法，后面的學(xué)習(xí)就比較順利。這時兒童不但計算能力明顯提高，類化、遷移的能力也獲得發(fā)展。

　　3.新的編排便于逐步簡縮思維過程，提高計算速度，最后形成熟練的計算技巧。開始教學(xué)9加幾、8加幾……的湊十方法，只是教給兒童推想的一般步驟，兒童大都按照思考步驟來計算。經(jīng)過一些練習(xí)，教師引導(dǎo)兒童簡縮思維的中間環(huán)節(jié)。如9+3，只要想3撥過1（省略“和9湊成10，3還剩2，合起來”）得12；8+5，只要想5撥過2，得13。兒童掌握這個規(guī)律以后，計算速度有較明顯的提高。再經(jīng)過一定的練習(xí)，達(dá)到看見式題不假思索地很快說出得數(shù)。至于退位減法，開始按照9加幾得12，8加幾得13等來推想12-9、13-8等的計算結(jié)果。以后在掌握基本推想方法的基礎(chǔ)上，對于減數(shù)較大的情況，也適當(dāng)啟發(fā)兒童找規(guī)律，有助于簡縮思維過程。如減9所得的差比被減數(shù)的個位數(shù)都多1，等等。實驗表明，這種簡縮思維過程、探索規(guī)律的工作不能進(jìn)行得太早，在兒童還沒掌握基本推想方法時教這種簡便的方法，容易造成混亂，欲速則不達(dá)。另外，注意加減法之間的聯(lián)系仍然很重要。開始為了便于兒童掌握，只限一個加法算式和一個減法算式建立聯(lián)系，如9+2和11-9，8+3和11-8，……隨著學(xué)習(xí)的進(jìn)展，逐步建立兩個加法算式和兩個減法算式的聯(lián)系，最后還加以綜合整理。這不僅使兒童進(jìn)一步明確加減法的關(guān)系，而且便于兒童運用多方面聯(lián)想，促進(jìn)思維過程的簡縮，較好地掌握20以內(nèi)的進(jìn)位加法和退位減法。

　　4.新的編排方式便于教師采用不同的推想方法。近年來有些教師由于看到部分兒童用加法逆向聯(lián)想來計算20以內(nèi)退位減法比較困難，改教“破十法”，或進(jìn)行了實驗。但是這樣教學(xué)時需要改變現(xiàn)行通用教材的編排順序。這次實驗教材改變了編排方式，為教師采用不同的推想方法提供了方便。（有關(guān)“破十法”問題將在后面加以討論。）

　�。ㄒ唬┊�(dāng)前，數(shù)學(xué)教材改革的一項重要任務(wù)，就是如何使兒童容易理解和掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，減輕學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，同時又促進(jìn)兒童智力的發(fā)展。要完成這項任務(wù)，研究和處理好數(shù)學(xué)教材的結(jié)構(gòu)具有十分重要的意義。正如美國心理學(xué)家布魯納所說的，“不論我們選教什么學(xué)科，務(wù)必使學(xué)生理解學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)�！碧K聯(lián)教育家斯卡特金在《現(xiàn)代教學(xué)論問題》一書中也強調(diào)要確定學(xué)科的結(jié)構(gòu)，以適應(yīng)普通教育的目的。本實驗表明，在小學(xué)數(shù)學(xué)中，即使是一年級最簡單的內(nèi)容也存在著研究教材結(jié)構(gòu)的問題。良好的教材結(jié)構(gòu)便于教師教和學(xué)生學(xué)，可以促進(jìn)教學(xué)質(zhì)量的提高。

　�。ǘ�）20以內(nèi)加、減法教材的結(jié)構(gòu)可以是多種多樣的。但是良好的教材結(jié)構(gòu)，一方面必須反映數(shù)學(xué)的基本概念和基本原理，另一方面要符合兒童的認(rèn)知特點。美國G.F.格林認(rèn)為，“應(yīng)當(dāng)成組地講解基本式，而不要單個地講，”它的好處是可以“減少要學(xué)習(xí)的各自獨立的內(nèi)容的數(shù)目，便于從結(jié)構(gòu)上做出概括結(jié)論并教兒童如何應(yīng)用它們�！倍嗄陮嵺`和本實驗證明這種看法是正確的。但是如何分批分組，要對具體內(nèi)容進(jìn)行具體分析。蘇聯(lián)心理學(xué)家贊科夫在論教科書的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)時，強調(diào)要注意教育功能的多方面性，不僅使兒童掌握數(shù)學(xué)知識和技巧，而且要促進(jìn)他們的一般發(fā)展。本實驗結(jié)果表明，10以內(nèi)加、減法把兩種運算結(jié)合起來教學(xué)，20以內(nèi)進(jìn)位加法和退位減法穿插編排，以后逐步加以綜合整理，能使兒童較好地掌握基礎(chǔ)知識和計算技巧，又促進(jìn)他們智力的發(fā)展。

　�。ㄈ�）本實驗表明，初入學(xué)兒童學(xué)習(xí)20以內(nèi)加、減法時，無論在已有的經(jīng)驗，領(lǐng)會的速度，把已學(xué)的知識遷移到新問題中的能力，識記的能力等方面，都存在很大差異。因此編寫教材，確定要求和進(jìn)行教學(xué)都要注意適應(yīng)這一點，改變那種“一刀切”的教育思想和教學(xué)方法。在教學(xué)某一新知識時不能要求所有兒童當(dāng)堂都掌握，要容許一些后進(jìn)兒童經(jīng)過必要的輔導(dǎo)和較長時間的學(xué)習(xí)實踐逐步掌握。只要教學(xué)得法，暫時后進(jìn)的兒童，能夠逐步達(dá)到基本的教學(xué)要求，甚至能夠取得較好的成績。

　　（四）本實驗雖然初步取得較好結(jié)果，但是教材的結(jié)構(gòu)和其他方面的安排是否普遍適合各地情況，還有待進(jìn)一步實驗研究。其中20以內(nèi)退位減法，實驗表明，用加法逆向聯(lián)想來算，仍是比較好的一種方法。它對于使進(jìn)位加法進(jìn)一步熟練，深刻理解加減法的關(guān)系，發(fā)展兒童智力，都有一定的促進(jìn)作用。少數(shù)兒童開始學(xué)習(xí)會有一些困難，但只要多利用操作、直觀，及時給以幫助，是能夠逐步掌握的。實驗教材的編排也為教師采用其他方法（如“破十法”）提供了方便。關(guān)于“破十法”，由于某些原因沒有進(jìn)行對比實驗，僅在采用這種方法的學(xué)校進(jìn)行了一些調(diào)查。初步看到，采用“破十法”，兒童比較容易理解和掌握，經(jīng)過練習(xí)也能達(dá)到熟練的程度；有些兒童能夠簡縮思維步驟（如13-8，很快想8的補數(shù)2，加3得5）。但是也有很多是分步算的。特別是在計算兩位數(shù)減法時（如61-7，72-36），有些兒童要用鉛筆或手指先點著被減數(shù)的十位和減數(shù)的個位，再點著減數(shù)的個位和被減數(shù)的個位，少數(shù)兒童甚至往返幾次，才算出得數(shù)，因而速度很慢。另外，采用“破十法”，削弱了加減法之間的聯(lián)系，不利于培養(yǎng)兒童通過多種聯(lián)想運用舊知識解決新問題。這個問題還有待進(jìn)一步研究，并進(jìn)行一些追蹤調(diào)查。