讓學(xué)生在數(shù)學(xué)中猜想

 　　波利亞有一段精彩的論述：“我想談一個(gè)小小的建議，可否讓學(xué)生在做題之前猜想該題的結(jié)果或部分結(jié)果，一個(gè)孩子一旦表示出某種猜想，他就把自己與該題連在一起，他會(huì)急切地想知道他的猜想是否正確。于是，他便主動(dòng)地關(guān)心這道題，關(guān)心課堂的進(jìn)展，他就不會(huì)打盹或搞小動(dòng)作。”

　　在國(guó)家《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》中要求：“人人學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué);人人都能獲得必需的數(shù)學(xué);不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”。同時(shí)提出：“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實(shí)的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的, 有利于學(xué)生主動(dòng)地進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng).動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式”。教師職責(zé)已經(jīng)越來(lái)越少地傳遞知識(shí)，而越來(lái)越多地激勵(lì)思考,教師必須集中更多的時(shí)間和精力從事那些有效果的和有創(chuàng)造性的活動(dòng)。

　　猜想，已經(jīng)成為學(xué)生當(dāng)今學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要方式，從心理學(xué)角度看，是一項(xiàng)思維活動(dòng)，是學(xué)生有方向的猜測(cè)與判斷，包含了理性的思考和直覺(jué)的推斷；從學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程來(lái)看，猜想是學(xué)生有效學(xué)習(xí)的良好準(zhǔn)備，它包含了學(xué)生從事新的學(xué)習(xí)或?qū)嵺`的知識(shí)準(zhǔn)備、積極動(dòng)機(jī)和良好情感。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，猜想作為一種手段，目的是為了驗(yàn)證猜想是否正確，從而使學(xué)生積極參與學(xué)習(xí)的過(guò)程，使學(xué)生主動(dòng)地獲取知識(shí)。培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)造性思維。

　　那么我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)實(shí)踐中如何運(yùn)用猜想來(lái)促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，來(lái)引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地參與學(xué)習(xí)的全過(guò)程呢？我們應(yīng)根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容，抓住不同的時(shí)機(jī)，創(chuàng)設(shè)猜想的情景，讓學(xué)生去大膽猜想。

（一）新課之前猜想，激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)

　　猜想，最常運(yùn)用于對(duì)新知識(shí)的探索起步階段，因?yàn)檫@個(gè)階段的猜想可以激活學(xué)生的思維，有利于架起已知與未知的橋梁，并且正如波利亞所說(shuō)，這樣做，更利于學(xué)生積極主動(dòng)地參與到學(xué)習(xí)過(guò)程中來(lái)。

　　例如，在教學(xué)長(zhǎng)方形的面積計(jì)算方法中，我首先出示一個(gè)長(zhǎng)2厘米，寬1厘米的長(zhǎng)方形，引導(dǎo)學(xué)生注意長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，然后多媒體展示一組圖形的變化，問(wèn)長(zhǎng)方形的面積大小可能跟什么有關(guān)？一組感性學(xué)習(xí)材料的提供和適當(dāng)啟發(fā)，學(xué)生的思維有了一定的指向和集中。學(xué)生憑著對(duì)學(xué)習(xí)材料的直接反應(yīng)，很有預(yù)見(jiàn)性地作出了大膽的設(shè)想：長(zhǎng)方形的面積大小跟長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬有關(guān)。

　　接著，我沒(méi)有明確地作出肯定，而是進(jìn)一步組織實(shí)驗(yàn)進(jìn)行點(diǎn)撥：長(zhǎng)方形的面積是不是和長(zhǎng)與寬有關(guān)呢？如果有關(guān)系，那么它們是一種什么樣的關(guān)系呢？最后布置驗(yàn)證要求，通過(guò)擺放、填表、計(jì)算等方法對(duì)發(fā)現(xiàn)進(jìn)行驗(yàn)證，通過(guò)驗(yàn)證讓學(xué)生感受到成功的喜悅。

　　學(xué)生有了這種猜想，并且已驗(yàn)證猜想的正確性，就使接下來(lái)的探索過(guò)程有了方向和目標(biāo)，使學(xué)生對(duì)解決問(wèn)題充滿(mǎn)了自信。所以我們要充分挖掘教材中可供猜想的因素，引導(dǎo)學(xué)生積極猜想，為學(xué)習(xí)活動(dòng)作好良好的準(zhǔn)備。

（二）教學(xué)中猜想，培養(yǎng)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)

　　在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中，加入“猜想”這一“催化劑”，可以促進(jìn)學(xué)生多角度思維，加快大腦中表象形成的速度，抓住事物的本質(zhì)特征。

　　在教《三角形面積的計(jì)算》時(shí)，是這樣設(shè)計(jì)的，先出示直角、銳角、鈍角三種不同的三角形，讓學(xué)生比較誰(shuí)的面積大，學(xué)生用數(shù)方格的方法得出三個(gè)面積一樣大。然后，多媒體用表格分別出示這三個(gè)三角形的底和高，讓學(xué)生自己去分析，看能發(fā)現(xiàn)些什么?鼓勵(lì)學(xué)生大膽地猜一猜，三角形的面積怎么算?學(xué)生大膽地猜測(cè)出三角形的面積=底×高÷2。老師支持他的猜想，然后進(jìn)行驗(yàn)證，通過(guò)驗(yàn)證，證實(shí)三角形的面積=底×高÷2。

　　這種設(shè)計(jì)非常巧妙，它啟動(dòng)了學(xué)生思維的閘門(mén)，使其思維處于亢奮狀態(tài)，發(fā)展了學(xué)生的潛在能力。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)如同科學(xué)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，所以在學(xué)習(xí)過(guò)程中不斷演繹著猜想、驗(yàn)證、再猜想、再驗(yàn)證的循環(huán)，從而使學(xué)生從對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的模糊到清晰，從知之甚少到知之較多，最終使學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的方法。

（三）小結(jié)延伸處猜想，激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。 

　　你也許會(huì)認(rèn)為，對(duì)新知識(shí)的探索結(jié)束了，猜想也告一段落了，課堂小結(jié)以后就沒(méi)有猜想存在了嗎？應(yīng)該有，那將是猜想的延伸。學(xué)習(xí)新內(nèi)容后，可以讓學(xué)生猜想以后會(huì)學(xué)習(xí)什么內(nèi)容，今天學(xué)習(xí)的內(nèi)容有什么作用。如學(xué)習(xí)除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法后，學(xué)生自然會(huì)猜想到接下來(lái)要學(xué)習(xí)除數(shù)是小數(shù)的小數(shù)除法，這樣有利于激起學(xué)生對(duì)后學(xué)知識(shí)的興趣。還可以讓學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識(shí)后猜想知識(shí)的運(yùn)用，     如學(xué)習(xí)長(zhǎng)方形和正方形的面積之后可以讓學(xué)生猜想自己住的小房間的面積，吃飯桌子的面積。這樣的猜想有利于培養(yǎng)學(xué)生將所學(xué)知識(shí)運(yùn)用于實(shí)際生活的能力。

　　我們要鼓勵(lì)學(xué)生去猜想，這樣有助與培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，但運(yùn)用猜想也有我們要注意的。學(xué)生的猜想可能是經(jīng)過(guò)周密思考的，符合邏輯性，頗像一個(gè)大數(shù)學(xué)家，但更可能是稚嫩無(wú)據(jù)的，只是頑童小技；學(xué)生的猜想狀態(tài)可能是積極主動(dòng)的，但也可能是消極被動(dòng)的，這都是正常的，教師要在學(xué)生的猜想中發(fā)揮“主導(dǎo)作用”，引導(dǎo)他們?nèi)ズ侠砩踔燎螽惖夭孪�，使學(xué)生更具信心地猜想，更好地發(fā)展他們的創(chuàng)造性思維。 

1、 提高猜想的有效度

　　猜想可分為正向猜想與反向猜想。正向猜想就是學(xué)生根據(jù)已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，按照常規(guī)有序的思考得到新知識(shí)，是學(xué)生利用遷移學(xué)習(xí)新知識(shí)的一種重要方法。如復(fù)習(xí)平行四邊形的面積推導(dǎo)過(guò)程以后，讓學(xué)生猜想三角形或梯形的面積計(jì)算方法該怎樣推導(dǎo)，學(xué)生很容易作出正向猜想。引導(dǎo)學(xué)生在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上再作新的猜想，長(zhǎng)此以往學(xué)生對(duì)正向猜想會(huì)比較自覺(jué)地進(jìn)行。

　　反向猜想指的是換個(gè)角度甚至從常規(guī)角度相反的方向猜想，如教學(xué)“能被3整除的數(shù)的特征”，學(xué)生按常規(guī)很難猜想到規(guī)律，在學(xué)生有了幾次失敗的猜想以后，讓學(xué)生交換能被3整除的數(shù)中數(shù)字的位置，看結(jié)果怎么樣，再引導(dǎo)猜想。這兩種猜想，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，前者是基礎(chǔ)，后者是創(chuàng)新的靈魂，我們應(yīng)重點(diǎn)扶持前者，精心設(shè)計(jì)后者。

2、 猜想與驗(yàn)證相結(jié)合。

　　任何猜想都要經(jīng)過(guò)驗(yàn)證，才能確定其普遍意義，猜想驗(yàn)證的過(guò)程，也就是學(xué)生主動(dòng)參與數(shù)學(xué)知識(shí)的探索過(guò)程。只有猜想沒(méi)有驗(yàn)證，那只能是空想，把猜想與驗(yàn)證緊密結(jié)合，可以產(chǎn)生猜想的良性循環(huán)。有的猜想通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算和操作馬上就可以驗(yàn)證。如猜想周長(zhǎng)相同的長(zhǎng)方形和圓的面積誰(shuí)大，學(xué)生隨機(jī)舉例計(jì)算，就可以得出正確的結(jié)果。

3、 用鼓勵(lì)性評(píng)價(jià)對(duì)待猜想。

　　學(xué)生的猜想不可能都是正確的，而且往往是“異想天開(kāi)”。作為教師，對(duì)待任何猜想，始終應(yīng)該保持一條原則，那就是進(jìn)行鼓勵(lì)性評(píng)價(jià)，保護(hù)學(xué)生積極猜想的精神。教師對(duì)錯(cuò)誤猜想不能簡(jiǎn)單地否定，而要引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)分析，然后再作新的猜想。猜想作為數(shù)學(xué)思維的一個(gè)極小組成部分，卻可以發(fā)揮較大的輻射作用，培養(yǎng)學(xué)生的猜想能力可以促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)造性思維的形成，可以促使學(xué)生主動(dòng)地進(jìn)行學(xué)習(xí)，增強(qiáng)學(xué)生愛(ài)數(shù)學(xué)的情感。我們要對(duì)教材中的猜想因素深入挖掘，恰當(dāng)處理，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行正向、反向猜想，使學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、主體意識(shí)在猜想中得到發(fā)展。 
　　
　　牛頓曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“沒(méi)有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)明�！倍鴮W(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程并非要出現(xiàn)像科學(xué)家那樣的猜想，但應(yīng)具有知識(shí)的再發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造。培養(yǎng)學(xué)生的猜想意識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行積極的猜想，正是培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)再發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造的良好開(kāi)端。學(xué)生的合理猜想中融合了直覺(jué)思維、聯(lián)想等要素，是較復(fù)雜的思維過(guò)程，讓學(xué)生根據(jù)已有的知識(shí)或直覺(jué)進(jìn)行猜想，既能調(diào)動(dòng)學(xué)生的各種思維能力，在猜想的過(guò)程中能更好地獲取知識(shí)，又能展現(xiàn)他們的創(chuàng)新才智，提高學(xué)習(xí)的自信心。

　　在數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展過(guò)程中，數(shù)學(xué)家們常要先猜測(cè)問(wèn)題的結(jié)論，在作出詳細(xì)證明之前，先得猜測(cè)證明的思路。因而，猜想在數(shù)學(xué)的發(fā)展過(guò)程中有著重要的地位。如果沒(méi)有猜想，數(shù)學(xué)家將寸步難行；如果沒(méi)有猜想，如今這座雄偉瑰麗的數(shù)學(xué)宮殿就不會(huì)存在。