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數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程與數(shù)學(xué)教學(xué)策略
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程與數(shù)學(xué)教學(xué)策略
(課程教材研究所副編審)顏其鵬
在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，存在的一個(gè)問題是：數(shù)學(xué)教學(xué)只重視教而相對(duì)地忽視學(xué)，只重視教學(xué)方法、教學(xué)手段等的改革，而相對(duì)地忽視對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)規(guī)律、學(xué)習(xí)方法等的探索。這樣，造成了目前數(shù)學(xué)教學(xué)雖費(fèi)時(shí)較多，但教學(xué)效果并不太佳�？偨Y(jié)上述教訓(xùn)，筆者認(rèn)為，提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵在于根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理機(jī)制和教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)。為此，本文在對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程進(jìn)行較為系統(tǒng)的分析和探討的基礎(chǔ)上，提出了一些相應(yīng)的數(shù)學(xué)教學(xué)策略。?
一、數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)?
所謂數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，筆者認(rèn)為，它是數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)與學(xué)生個(gè)體心理結(jié)構(gòu)相互作用的產(chǎn)物，是學(xué)生頭腦中的數(shù)學(xué)知識(shí)、技能按照自己的感知、記憶、表象、想像、思維等認(rèn)知操作，組成的一個(gè)具有內(nèi)部規(guī)律的整體結(jié)構(gòu)，是數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)“內(nèi)化而來”的。
數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)是學(xué)生頭腦中已有的數(shù)學(xué)知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)及其組織，它包括數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和數(shù)學(xué)技能兩個(gè)要素。?
數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)是學(xué)生頭腦中已有的數(shù)學(xué)事實(shí)、結(jié)論性知識(shí)及其組織特征。它是學(xué)生經(jīng)過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)后所形成的經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)，包括數(shù)學(xué)概念，數(shù)學(xué)語言，數(shù)學(xué)公式、符號(hào)，數(shù)學(xué)命題，數(shù)學(xué)方法以及它們的組織網(wǎng)絡(luò)。?
數(shù)學(xué)技能是相應(yīng)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用過程中而產(chǎn)生的，順利完成數(shù)學(xué)活動(dòng)任務(wù)的復(fù)雜的動(dòng)作系統(tǒng)。它包括數(shù)學(xué)操作技能、心智技能等。?
事實(shí)上，學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)越豐富，知識(shí)的組織越合理，就越容易內(nèi)化外界輸入的信息，并吸收它為自己的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)中的一部分。比如，學(xué)生對(duì)于二元一次方程組、一元二次方程的解法掌握得比較牢固，對(duì)解方程或方程組的“消元、降次”思想理解得比較好，那么就很容易掌握二元二次方程組、簡單的高次方程的解法。
(二)數(shù)學(xué)認(rèn)知操作系統(tǒng)是指學(xué)生在已有的數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，運(yùn)用感知、想像、數(shù)學(xué)思維等對(duì)數(shù)學(xué)信息(新知識(shí))進(jìn)行操作，處理的較穩(wěn)定的個(gè)性認(rèn)知特征，它可進(jìn)一步概括為數(shù)學(xué)能力，其核心是數(shù)學(xué)思維能力，而表現(xiàn)和衡量的標(biāo)準(zhǔn)則是數(shù)學(xué)認(rèn)知品質(zhì)(如認(rèn)知的目的性、敏捷性、全面性、準(zhǔn)確性、深刻性等)。?
認(rèn)知操作系統(tǒng)是由一定年齡階段學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展(即智力發(fā)展)水平和特征所決定的，它反映了學(xué)生的認(rèn)知(智力)發(fā)展?fàn)顩r，具有相對(duì)穩(wěn)定性，但又表現(xiàn)出較大的個(gè)體差異，因此，它是教師進(jìn)行因材施教的根據(jù)。?
(三)數(shù)學(xué)元認(rèn)知系統(tǒng)就是個(gè)體對(duì)自己數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)的監(jiān)控、調(diào)節(jié)系統(tǒng)，是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)的中樞指揮系統(tǒng)。表現(xiàn)在學(xué)生主體根據(jù)數(shù)學(xué)活動(dòng)的要求，選擇適宜的認(rèn)知操作方法進(jìn)行認(rèn)知活動(dòng)，并監(jiān)控認(rèn)知活動(dòng)進(jìn)行的過程；同時(shí)，還不斷地分析反饋信息，及時(shí)調(diào)節(jié)自己的認(rèn)知過程和策略。?
數(shù)學(xué)元認(rèn)知的實(shí)質(zhì)就是學(xué)生的數(shù)學(xué)觀念或數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是學(xué)生用數(shù)學(xué)思維方式去考慮問 題、處理問題的自覺意識(shí)和習(xí)慣。?
從上面對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)要素的分析可以看出，數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)具有下列的功能：1.選擇。當(dāng)數(shù)學(xué)信息(新知識(shí))刺激時(shí)，數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)必須對(duì)已有的數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行過濾，分化，以找出與新知識(shí)有所聯(lián)系的已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)；2.同化，即用已有數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)去說明、解釋并容納數(shù)學(xué)新知識(shí)；3.順應(yīng)。由于主體數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)具有自我意識(shí)和自我調(diào)節(jié)能力，當(dāng)原有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)不能容納數(shù)學(xué)新知識(shí)時(shí)，則主體對(duì)原數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行改造，以便同化新知識(shí)；4.預(yù)見。個(gè)體通過數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)能從整體上把握數(shù)學(xué)事實(shí)或結(jié)論，從而產(chǎn)生數(shù)學(xué)直覺，顯然，直覺帶有一定的預(yù)見性質(zhì)；5.遷移與運(yùn)用，即數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、認(rèn)知操作系統(tǒng)或元認(rèn)知系統(tǒng)都可以影響后繼數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、其他學(xué)科學(xué)習(xí)和解決實(shí)際問題。?
正因?yàn)閿?shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)具有上述功能，可以說數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)賴以進(jìn)行的心理結(jié)構(gòu)，同時(shí)，形成良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)又是數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)的總目標(biāo)。?
二、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的模式?
對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，我們認(rèn)為是在特定的學(xué)習(xí)情境中，在數(shù)學(xué)教師的主導(dǎo)下，學(xué)生主體對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知活動(dòng)過程，在這個(gè)過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情感系統(tǒng)的參與和影響下，不斷地對(duì)數(shù)學(xué)新知識(shí)進(jìn)行認(rèn)知操作，結(jié)果導(dǎo)致學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情感系統(tǒng)不斷地變化和發(fā)展，從而達(dá)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)的要求。
(一)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的新內(nèi)容是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的客體，它是數(shù)學(xué)教材所敘述的數(shù)學(xué)事實(shí)(如數(shù)學(xué)語言、符號(hào)、公理、原始概念等)，數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)原理(如數(shù)學(xué)定理、命題、定律、公式等)、數(shù)學(xué)技能(包括操作技能、心智技能)等知識(shí)組成的，是在一定時(shí)間限度內(nèi)學(xué)生所要掌握的知識(shí)。因此，它可指一節(jié)課的內(nèi)容、一節(jié)或一章的內(nèi)容，也可指一門數(shù)學(xué)分支等。?
數(shù)學(xué)情境是指學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)新知識(shí)的外部環(huán)境，包括教師創(chuàng)設(shè)的數(shù)學(xué)教學(xué)情境，課堂學(xué)習(xí)氣氛等，它伴隨著教師教學(xué)活動(dòng)的深入而直接地、持續(xù)地與整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)發(fā)生相互作用，甚至決定數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果。?
(二)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的準(zhǔn)備可以分為認(rèn)知準(zhǔn)備和情感準(zhǔn)備兩個(gè)方面。認(rèn)知準(zhǔn)備指學(xué)生原數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必要條件(先決認(rèn)知條件)，情感準(zhǔn)備是學(xué)生能否專心于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的心理?xiàng)l件，它一般由先前數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果、先前其他學(xué)習(xí)、對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)價(jià)值的認(rèn)識(shí)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)、學(xué)習(xí)態(tài)度、情緒、意志等情感因素所決定的。?
(三)學(xué)生有了適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)準(zhǔn)備后，當(dāng)數(shù)學(xué)信息(數(shù)學(xué)新知識(shí))刺激大腦時(shí)，大腦就通過學(xué)習(xí)情景與數(shù)學(xué)信息發(fā)生相互作用，從而進(jìn)入了學(xué)習(xí)的內(nèi)化階段。?
內(nèi)化階段包括定向、聯(lián)想、同化或順應(yīng)等幾個(gè)心理過程。?
1.在學(xué)習(xí)的定向階段，首先，學(xué)生從對(duì)學(xué)習(xí)情境所提供的背景關(guān)系的俯瞰全貌式的概覽開始，不斷的探究、領(lǐng)悟新知識(shí)的價(jià)值和特點(diǎn)，從而使原數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)與新知識(shí)發(fā)生認(rèn)知沖突，這種沖突使得他們?cè)谛睦砩袭a(chǎn)生學(xué)習(xí)新知識(shí)的認(rèn)知需要和學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，從而促使他們調(diào)用原認(rèn)知結(jié)構(gòu)去處理新知識(shí)，進(jìn)行認(rèn)知活動(dòng)。其次，學(xué)生通過感官的作用，辨別數(shù)學(xué)新知識(shí)的特征(如數(shù)學(xué)符號(hào)、術(shù)語、公式、圖象等)，并把它和已有的數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系起來，從而分化出數(shù)學(xué)新知識(shí)的本質(zhì)特征和非本質(zhì)特征。最后，通過對(duì)本質(zhì)特征和非本質(zhì)特征的區(qū)分，概括出新知識(shí)的有意義的東西，獲得了數(shù)學(xué)新知識(shí)的表象和結(jié)構(gòu)，即潛在意義。
2.知覺到新知識(shí)的潛在意義后，要達(dá)到對(duì)新知識(shí)的理解，還需要新舊知識(shí)相互作用，這一思維過程從聯(lián)想開始。?
聯(lián)想即把原數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中與數(shù)學(xué)新知識(shí)有聯(lián)系的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)(如概念、命題、術(shù)語、思想方法等)分化出來，以提供內(nèi)化新知識(shí)的銜接點(diǎn)和組織者。它包括選取原數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中與新知識(shí)有關(guān)的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，區(qū)分新舊知識(shí)的異同，分化與新知識(shí)有本質(zhì)聯(lián)系的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)等幾個(gè)環(huán)節(jié)。對(duì)于復(fù)雜的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)(如問題解決)，聯(lián)想是創(chuàng)造性思維的第一步，即它能綜合已有的知識(shí)，在對(duì)問題情景的整體把握基礎(chǔ)上，構(gòu)造出新問題的基本結(jié)構(gòu)和模型，從而對(duì)問題的解決提出假設(shè)。?
例如，中學(xué)生在學(xué)習(xí)矩形概念時(shí)，他們從日常生活和小學(xué)學(xué)過的長方形概念中取得了潛在意義；然后，通過聯(lián)想，從原數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中分化出內(nèi)化新知識(shí)的銜接點(diǎn)——平行四邊形概念和性質(zhì)。?
聯(lián)想的結(jié)果，使新舊知識(shí)建立了實(shí)質(zhì)的、非人為的聯(lián)系。接著，學(xué)生可以運(yùn)用已分化出的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)來內(nèi)化新知識(shí)，并且以同化和順應(yīng)兩種形式來進(jìn)行。?
3.同化是利用原數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)去說明、解釋并容納數(shù)學(xué)新知識(shí)。例如，學(xué)生學(xué)習(xí)矩形的概念就是利用平行四邊形概念進(jìn)行同化的過程。?
順應(yīng)是指當(dāng)原數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)不能有效地容納數(shù)學(xué)新知識(shí)時(shí)，主體將對(duì)原數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行改造，以適應(yīng)新知識(shí)的學(xué)習(xí)。順應(yīng)的過程是：對(duì)新知識(shí)進(jìn)行歸納、概括，對(duì)原數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行改造和整理，從而使新舊知識(shí)建立密切聯(lián)系，新知識(shí)被納入到學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，原數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到改造并擴(kuò)大。例如，初一學(xué)生學(xué)習(xí)代數(shù)初步知識(shí)，就是通過順應(yīng)來進(jìn)行的。盡管他們?cè)谛W(xué)學(xué)過算術(shù)，但算術(shù)與代數(shù)的不一致性，使他們只能改造頭腦中已有的算術(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu)，通過字母代表數(shù)的學(xué)習(xí)，才逐漸掌握代數(shù)知識(shí)。?
如果說同化的作用是改造新數(shù)學(xué)知識(shí)使之與數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)相吻合的話，那么順應(yīng)則是改造原認(rèn)知結(jié)構(gòu)以適應(yīng)學(xué)習(xí)新知識(shí)的需要，因而同化只能從量上豐富原數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，順應(yīng)則能從質(zhì)上改變數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，不過，同化和順應(yīng)往往存在于同一個(gè)認(rèn)知活動(dòng)中，在同化中有順應(yīng)，而在順應(yīng)中，盡可能先同化。例如，數(shù)系的一系列擴(kuò)張，就是舊數(shù)系順應(yīng)新數(shù)系，而新數(shù)系則盡可能保持舊數(shù)系的原有法則，這是一個(gè)實(shí)質(zhì)上順應(yīng)，形式上同化的過程。?
值得指出的是，不管同化或順應(yīng)，總要對(duì)原有數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和新知識(shí)作出重新評(píng)價(jià)。即使新知識(shí)可作為原數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的補(bǔ)充和完善，原數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的某些部分也應(yīng)重新分類、重新形成概念，并且這一過程還特別需要元認(rèn)知系統(tǒng)的監(jiān)控、調(diào)節(jié)。?
經(jīng)過同化和順應(yīng)后，新數(shù)學(xué)知識(shí)納入了學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，原數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)生了變化。但是新舊知識(shí)的相互作用并未停止，新知識(shí)的保持和遺忘就是同一相互作用的繼續(xù)。因此，只有采用一定的強(qiáng)化措施，才能鞏固所獲得的新知識(shí)。?
(四)強(qiáng)化階段是數(shù)學(xué)新知識(shí)的進(jìn)一步理解和鞏固階段，它是通過練習(xí)、形成性評(píng)價(jià)、小結(jié)(概括)、靈活運(yùn)用等方式而實(shí)現(xiàn)的。
1.練習(xí)過程是學(xué)生把數(shù)學(xué)新知識(shí)初步運(yùn)用于具體情境中的過程。通過練習(xí)，可以使自己對(duì)新知識(shí)的理解程度有明確的認(rèn)識(shí)，從而起反饋?zhàn)饔�；可以使自己�?duì)新知識(shí)的理解更完整化、具體化，從而進(jìn)一步保持和長時(shí)間鞏固新知識(shí)，并形成技能；同時(shí)，還有助于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，維持良好的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。有時(shí)，練習(xí)還可以使學(xué)生產(chǎn)生整體感受，從而為領(lǐng)悟數(shù)學(xué)整體的突出性質(zhì)——數(shù)學(xué)思想打下基礎(chǔ)。?
課堂例題、課堂練習(xí)、課外作業(yè)等都可看作是練習(xí)。?
2.應(yīng)當(dāng)說，形成性評(píng)價(jià)是以檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容的領(lǐng)會(huì)程度為標(biāo)準(zhǔn)的，因而它應(yīng)貫穿于數(shù)學(xué)新知識(shí)意義的獲得和保持過程的始終。它又包括教師課內(nèi)診斷和學(xué)生自我評(píng)價(jià)兩個(gè)方面。教師對(duì)學(xué)生的課內(nèi)診斷一般通過觀察、提問和形成性測試等手段進(jìn)行。學(xué)生的自我評(píng)價(jià)一般是從教師的評(píng)價(jià)、原數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中元認(rèn)知的監(jiān)控和調(diào)節(jié)作用以及練習(xí)中得出的，它也包括認(rèn)知和情感兩方面內(nèi)容。?
通過形成性評(píng)價(jià)后，學(xué)生對(duì)于自己掌握新知識(shí)的情況有所了解，從而調(diào)節(jié)自己進(jìn)一步努力的方向；同時(shí)，教師可對(duì)癥下藥，采取補(bǔ)救措施。?
3.小結(jié)是指在獲得新知識(shí)的意義并通過練習(xí)(通過變式和具體運(yùn)用，抓住本質(zhì)特征)后，用最簡單、最經(jīng)濟(jì)、概括性最強(qiáng)的術(shù)語對(duì)新知識(shí)加以組織，使數(shù)學(xué)新知識(shí)變?yōu)榫哂懈爬ㄐ�，能融合于已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)中的基本概念、基本命題、公式甚至思想等，從而使新知識(shí)更加鞏固。通過小結(jié)，新知識(shí)由于其概括性而具有更大的遷移價(jià)值，即還能影響后繼學(xué)習(xí)和運(yùn)用它們解決問題。?
4.新知識(shí)的靈活運(yùn)用過程是指創(chuàng)造性地利用新知識(shí)
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去解決數(shù)學(xué)問題及其他問題的過程。實(shí)際上，解決問題是在對(duì)問題情景和題目條件的整體把握的情況下，利用原數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)從整體的角度把握問題的實(shí)質(zhì)，再結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)調(diào)動(dòng)各種數(shù)學(xué)思維成分(如邏輯思維、直覺思維、發(fā)散思維和輻合思維等)的參與，從而提出嘗試性模型(假設(shè))，并檢驗(yàn)假設(shè)以達(dá)到目的。?
靈活運(yùn)用是檢查學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果的綜合性指標(biāo)，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最高目標(biāo)。?
(五)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果包括認(rèn)知成果和情感變化兩個(gè)方面。
經(jīng)過學(xué)習(xí)的內(nèi)化和強(qiáng)化階段后，在認(rèn)知方面的成果是：新知識(shí)被納入到學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，形成了新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并且新知識(shí)被概括化、整體化，具有遷移作用，另外，形成了較強(qiáng)的技能，發(fā)展了能力。對(duì)于具體的學(xué)習(xí)，情感變化不會(huì)太大，但對(duì)于一單元，一門分支的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)價(jià)值的認(rèn)識(shí)、學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)、學(xué)習(xí)積極性等均會(huì)有一些變化，具體討論略。?
(六)以等腰三角形概念的學(xué)習(xí)為例，說明概念學(xué)習(xí)的過程。?
1.學(xué)習(xí)的內(nèi)容：等腰三角形的概念，學(xué)習(xí)的準(zhǔn)備：原數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中三角形的概念、 三角形全等的性質(zhì)和判定。?
2.內(nèi)化階段：首先(由教師根據(jù)圖形)給出“有兩條邊相等的三角形是等腰三角形”這一定義和本質(zhì)屬性，并給出相應(yīng)的腰、頂角、底角的定義，這樣學(xué)生可以分化為等腰三角形概念的本質(zhì)特征和非本質(zhì)特征；其次，學(xué)生將新概念(等腰三角形)與原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)(三角形、全等三角形)聯(lián)系起來，把新概念納入原有概念(三角形)中，并認(rèn)識(shí)到新概念是原有三角形概念的限制；最后，運(yùn)用變式和肯定、否定例證進(jìn)一步突出概念(等腰三角形)的本質(zhì)屬性，并對(duì)概念的各種屬性進(jìn)行分類，如辨別下面圖式，可得出等腰三角形能分為等邊三角形和腰與底邊不相等的等腰三角形，同時(shí)還可得出等腰三角形兩底角相等等。
3.強(qiáng)化階段：通過練習(xí)和小結(jié)，學(xué)生既能利用定義去判定等腰三角形，還能利用等腰三角形兩腰相等的性質(zhì)去解題；同時(shí)，等腰三角形的概念還可納入三角形的概念系統(tǒng)中。
三、從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程看數(shù)學(xué)教學(xué)策略?
所謂數(shù)學(xué)教學(xué)策略是指數(shù)學(xué)教師對(duì)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)所作的系統(tǒng)決策和設(shè)計(jì)。它包括設(shè)置數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情景的策略，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的策略，選擇數(shù)學(xué)教學(xué)方法與教學(xué)輔助手段的策略，教學(xué)效果的檢查和評(píng)價(jià)的策略等。?
從對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的分析可知，數(shù)學(xué)教師的作用在于促使學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的幾個(gè)階段順利地進(jìn)行，以達(dá)到良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果為目標(biāo)。相應(yīng)地，數(shù)學(xué)教學(xué)策略就應(yīng)當(dāng)圍繞著促使學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情感系統(tǒng)來制定。下面我們根據(jù)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的模式來討論數(shù)學(xué)教學(xué)策略。?
(一)選擇和分析數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容(備課)的策略。
數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是內(nèi)化的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，而數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)又是通過數(shù)學(xué)教材反映出來的 ，故選擇和分析數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，必須立足于教材，但又不能照本宣科，還要對(duì)教材進(jìn)行居高臨下的剖析和重新組織，使它成為促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)展的相對(duì)完善的知識(shí)結(jié)構(gòu)。具體地：?
1.分析和領(lǐng)會(huì)單元數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，并按事實(shí)(術(shù)語、符號(hào)等)、技能、概念、原理等幾方面對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行分類，以弄清教材中的知識(shí)分布情況；在此基礎(chǔ)上，以整體觀點(diǎn)為指導(dǎo)，瞻前顧后，隨時(shí)把本單元的知識(shí)與其他內(nèi)容聯(lián)系起來考慮，以此克服知識(shí)的離散性，使學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)容易形成經(jīng)緯交織，融會(huì)貫通的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，同時(shí)有助于內(nèi)化和保持新知識(shí)。
2.在分類的基礎(chǔ)上，分析本單元教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。所謂重點(diǎn)，就是知識(shí)的中心點(diǎn)，即單元或?qū)W科領(lǐng)域中核心的基本的知識(shí)點(diǎn)，它在抽象性、包攝性、概括性程度上高于其他知識(shí)，理解了中心點(diǎn)的知識(shí)，其他知識(shí)的掌握就順理成章了。然后考慮以突破重點(diǎn)、難點(diǎn)為核心，并參照教學(xué)大綱和教學(xué)方案分配的教學(xué)時(shí)數(shù)，安排課時(shí)和教學(xué)順序。?
3.根據(jù)各類知識(shí)學(xué)習(xí)的特點(diǎn)和學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)確定教學(xué)方法以及相應(yīng)的教學(xué)輔助手段和各種教學(xué)材料。?
事實(shí)上，教學(xué)方法的選擇和組合，同教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)、學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平及差異是緊密聯(lián)系在一起的。雖然現(xiàn)在數(shù)學(xué)教育書刊上所提的數(shù)學(xué)教學(xué)方法很多，但適合所有類型知識(shí)學(xué)習(xí)的方法是沒有的，不同知識(shí)的學(xué)習(xí)只能采用不同的教學(xué)方法，這就是所謂“教無定法”的實(shí)質(zhì)。?
4.備課時(shí)，還應(yīng)考慮如何設(shè)置學(xué)習(xí)情景，如何進(jìn)行形成性測試，如何進(jìn)行小結(jié)，以及例、習(xí)題(包括練習(xí)題)的配備等。?
(二)實(shí)施教學(xué)的策略。?
數(shù)學(xué)教學(xué)過程是教師的教和學(xué)生的學(xué)的雙邊統(tǒng)一的活動(dòng)過程，是教師通過數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)促使學(xué)生順利地進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的過程，是學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成和發(fā)展的過程。相應(yīng)于學(xué)習(xí)過程，實(shí)施教學(xué)的策略有：?
1.設(shè)置學(xué)習(xí)情境，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣——具體討論略。?
2.課前評(píng)價(jià)和彌補(bǔ)的策略。?
從對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的分析中我們看到，學(xué)生的原數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)對(duì)數(shù)學(xué)新知識(shí)學(xué)習(xí)的影響極大，關(guān)系到是否能內(nèi)化新知識(shí)。為此，在講解新課前，必須進(jìn)行診斷性評(píng)價(jià)，以查明學(xué)生的認(rèn)知準(zhǔn)備狀況。?
診斷性評(píng)價(jià)一般是通過復(fù)習(xí)提問、診斷性測試和觀察等方式進(jìn)行的。?
如果學(xué)生具有了內(nèi)化新知識(shí)的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，則教師可通過練習(xí)、小結(jié)等來鞏固已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn) (常與診斷性測試同時(shí)進(jìn)行)。?
如果學(xué)生不具有同化新知識(shí)的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，則應(yīng)采取補(bǔ)救措施——提供先行組織者。先行組織者是先于學(xué)習(xí)任務(wù)本身而呈現(xiàn)給學(xué)生的引導(dǎo)性知識(shí)，它常比學(xué)習(xí)任務(wù)有更高的抽象、概括和綜合水平，或能清晰地使學(xué)習(xí)任務(wù)與原數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)之間相聯(lián)系。因此，先行組織者的最大作用是能提高數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中適當(dāng)?shù)闹R(shí)經(jīng)驗(yàn)的可利用性，即在新舊知識(shí)之間架起一座橋梁。?
在教學(xué)中，教師可運(yùn)用類屬的先行組織者和比較的先行組織者等兩種形式。?
類屬的先行組織者是介紹給學(xué)生一種他們不熟悉的、比新知識(shí)有更大包容性、概括性的材料，學(xué)生可利用這個(gè)材料作為框架來內(nèi)化較具體的新知識(shí)，這種例子在數(shù)學(xué)教材中�？梢姷�。如要學(xué)習(xí)平行四邊形，先介紹四邊形這一概括性較強(qiáng)的材料，再用它來內(nèi)化平行四邊形的有關(guān)概念及性質(zhì)。?
比較的先行組織者是把學(xué)生比較熟悉的材料介紹給他們，以幫助學(xué)生把新概念和原理與以前學(xué)過的概念和原理結(jié)合在一起。如若把正弦函數(shù)和余弦函數(shù)定義為單位圓上的函數(shù)，這時(shí)把代數(shù)函數(shù)作為一個(gè)比較的先行組織者，就可運(yùn)用代數(shù)函數(shù)概念把熟悉的代數(shù)概念和原理與不熟悉的三角函數(shù)概念和原理結(jié)合起來。?
3.數(shù)學(xué)新知識(shí)呈現(xiàn)的策略?
(1)在新知識(shí)呈現(xiàn)之前，教師可對(duì)單元知識(shí)結(jié)構(gòu)作概括性介紹，即用具體、形象的語言，用 最基本的常識(shí)性概念來勾勒單元整體的輪廓(包括新知識(shí)的大致特點(diǎn)，學(xué)習(xí)的目標(biāo)和要求等)，從而使學(xué)生發(fā)現(xiàn)單元整體的特點(diǎn)，對(duì)新知識(shí)獲得總的印象，并明確學(xué)習(xí)的目的和價(jià)值，產(chǎn)生學(xué)習(xí)的動(dòng)機(jī)。同時(shí)，還有利于學(xué)生對(duì)新知識(shí)的潛在意義的認(rèn)識(shí)，促使內(nèi)化過程中定向和聯(lián)想階段的順利進(jìn)行。?
(2)教師呈現(xiàn)或講述新知識(shí)應(yīng)遵循下列幾條準(zhǔn)則：?
①應(yīng)盡可能保證學(xué)習(xí)材料本身的意義性，即使學(xué)習(xí)內(nèi)容具有潛在意義——對(duì)于特定的名詞、概念或原理可通過聯(lián)想來獲得，對(duì)于抽象的材料，則盡可能以直觀材料和形象為背景，即按具體與抽象相結(jié)合的原則進(jìn)行。?
②應(yīng)以有意義講授法和指導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法為基本教學(xué)方法，輔以其他教學(xué)方法(如討論法、自學(xué)法、探究法等)進(jìn)行教學(xué)，并且啟發(fā)式教學(xué)思想應(yīng)貫穿于教學(xué)過程的始終。?
采用有意義講授法教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)將學(xué)習(xí)內(nèi)容以優(yōu)化的形式直接呈現(xiàn)給學(xué)生，以促進(jìn)學(xué)生快速有效地把新知識(shí)內(nèi)化和鞏固。優(yōu)化的形式反映了知識(shí)本身的邏輯結(jié)構(gòu)，知識(shí)的整體結(jié)構(gòu)和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，一般地，不同類型知識(shí)的學(xué)習(xí)有不同的優(yōu)化形式(具體討論見下面)。?
事實(shí)上，接受學(xué)習(xí)不但可以是有意義的(新舊知識(shí)可建立起實(shí)質(zhì)的、非人為聯(lián)系是有意義的標(biāo)準(zhǔn))和積極主動(dòng)的，而且還省時(shí)、經(jīng)濟(jì)和高效(即在短時(shí)期內(nèi)可掌握單元或?qū)W科的基本結(jié)構(gòu))，故大量的數(shù)學(xué)知識(shí)可通過有意義講授法教學(xué)。?
指導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法就是教師對(duì)新學(xué)習(xí)的內(nèi)容不是直接呈現(xiàn)給學(xué)生，而是只給學(xué)生一些提示性線索或問題，由學(xué)生進(jìn)行探索、發(fā)現(xiàn)新知識(shí)的意義，然后加以內(nèi)化、鞏固的教學(xué)方法。如概念的形成、問題解決等的教學(xué)均用此法。?
實(shí)施指導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法時(shí)，應(yīng)創(chuàng)設(shè)問題情境，引起學(xué)生認(rèn)知沖突，激發(fā)探索欲望；應(yīng)幫助、指導(dǎo)學(xué)生理解和領(lǐng)會(huì)課題結(jié)構(gòu)以保證學(xué)生在有意義的思考路線上進(jìn)行判斷、選擇和探索，避免盲目瞎猜的無效活動(dòng)�？傊�，發(fā)現(xiàn)法的指導(dǎo)要掌握分寸，恰到好處，使學(xué)生經(jīng)過一系列的思維活動(dòng)能發(fā)現(xiàn)材料的意義并加以內(nèi)化。?
由于每一數(shù)學(xué)教學(xué)單元中常要采用不同的教學(xué)方法，因而教學(xué)中多種方法的銜接也很重要。另外，不管采用什么教學(xué)方法，都應(yīng)把啟發(fā)式教學(xué)思想貫穿于其中。具體地，應(yīng)把握：在新舊知識(shí)的結(jié)合點(diǎn)，應(yīng)強(qiáng)調(diào)新舊知識(shí)的聯(lián)系，特別是難點(diǎn)和疑難問題，要給學(xué)生思考的部分線索，這樣有利于學(xué)生同化或順應(yīng)新知識(shí)；對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，解題的思想和方法，要啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行概括，以使學(xué)生容易從整體上把握數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)；要通過啟發(fā)，使學(xué)生掌握自我評(píng)價(jià)方法，從而提高對(duì)思維活動(dòng)、認(rèn)知能力的自我意識(shí)水平。?
③呈現(xiàn)教材的優(yōu)化形式是以“漸進(jìn)分化”、“逐次抽象”和“綜合貫通”等三種方式進(jìn)行。
“漸進(jìn)分化”是指按概括性和包容性大小的順序呈現(xiàn)教材，即首先呈現(xiàn)最一般的、概括性的 知識(shí)，然后呈現(xiàn)較特殊、較具體的知識(shí)，最后呈現(xiàn)具體的、特殊的事實(shí)、概念或細(xì)節(jié)，這種從金字塔的頂?shù)降椎某尸F(xiàn)方式有助于學(xué)生同化新的知識(shí)，獲得材料的意義。例如，現(xiàn)行初中課本中“四邊形”一章內(nèi)容即是按此方法呈現(xiàn)的。
即：多邊形→四邊形→平行四邊形→矩形菱形→正方形?
“綜合貫通”要求組織和呈現(xiàn)內(nèi)容時(shí)，應(yīng)注意學(xué)科中處于同一包容水平上的概念、原理和章節(jié)知識(shí)的異同——聯(lián)系和區(qū)別，以消除數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中知識(shí)間的矛盾和混淆，從而有利于同化或順應(yīng)新知識(shí)。?
事實(shí)上，學(xué)生學(xué)習(xí)困難的重要原因之一就是，看不到數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系和區(qū)別，從而不能進(jìn)行有效的知識(shí)間的轉(zhuǎn)換或遷移。?
“逐次抽象”是指按從具體到抽象，從零散的、個(gè)別的事實(shí)逐步地循序漸進(jìn)地提煉出一般概念和原理的方式來呈現(xiàn)教材。這樣呈現(xiàn)的方式比較符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和思維規(guī)律，適合教材的演繹規(guī)則，特別適應(yīng)于處于具體思維年齡階段的小學(xué)生的學(xué)習(xí)。?
(三)從上述的論述和對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的論述中，可知數(shù)學(xué)教學(xué)過程中應(yīng)注意下列幾個(gè)問題。
1.注意思維過程?
學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成和發(fā)展，是經(jīng)過一系列數(shù)學(xué)認(rèn)知(思維)活動(dòng)過程而得到的。因此，教師在講授數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，也要注意讓學(xué)生在數(shù)學(xué)知識(shí)的建立和發(fā)展過程(如概念的提出、解題思路的探索、解題方法和規(guī)律的概括與歸納過程等)，數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用過程中進(jìn)行思維。同時(shí)，數(shù)學(xué)知識(shí)的潛在思維價(jià)值和智力價(jià)值也有賴于教師的挖掘和揭示，使學(xué)生能感受、體驗(yàn)到數(shù)學(xué)知識(shí)所包含的深刻的思維和豐富的智慧，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)展學(xué)生的思維能力。?
2.注意數(shù)學(xué)知識(shí)間的比較和轉(zhuǎn)化過程?
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的每個(gè)環(huán)節(jié)或階段，幾乎都要使用比較。如果沒有比較，就沒有抽象概括，感性認(rèn)識(shí)也不能上升到理性認(rèn)識(shí)。因此，教師教學(xué)時(shí)恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用比較，就能為新舊知識(shí)的聯(lián)系和新知識(shí)的內(nèi)化打下基礎(chǔ)。?
例如，學(xué)習(xí)解二元二次方程組時(shí)，教師通過把它與一元二次方程，二元一次方程組進(jìn)行比較就能使學(xué)生掌握解二元二次方程組的基本思想——消元與降次。?
如果說比較可使新舊知識(shí)建立聯(lián)系，那么轉(zhuǎn)化則可把新問題化歸為舊問題(利用比較)，然后利用已有的知識(shí)進(jìn)行突破。因此，如果教師能恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用比較，把新知識(shí)轉(zhuǎn)化或化歸，則有利于內(nèi)化新知識(shí)。?
3.注意數(shù)學(xué)思想方法的有機(jī)滲透?
數(shù)學(xué)知識(shí)蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)思想方法又影響數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)。因此，教師如能在進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)的同時(shí)，注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的有機(jī)滲透和統(tǒng)帥作用，則有助于學(xué)生形成一個(gè)既有肉體又有靈魂的活的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，有助于促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的發(fā)展和運(yùn)用
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數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題能力的提高。?
4.注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的抽象和概括過程?
在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，抽象概括過程是認(rèn)清數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)，從感性上升到理性的橋梁，它應(yīng)貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)教學(xué)過程的始終。事實(shí)上，概念是對(duì)一類事物的屬性的概括，數(shù)學(xué)技能是對(duì)一系列數(shù)學(xué)活動(dòng)方式的概括，數(shù)學(xué)思想則是數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的概括特征。而只有概括了的一般概念和原理才具有較大的遷移力，故在數(shù)學(xué)教學(xué)中要注重抽象和概括(歸納和小結(jié)均可看作是概括)。?
5.注意學(xué)生自我評(píng)價(jià)、自我意識(shí)能力的培養(yǎng)?
學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程是在元認(rèn)知系統(tǒng)的監(jiān)控和調(diào)節(jié)下進(jìn)行的，同時(shí)，學(xué)生的自我形成性評(píng)價(jià)、終結(jié)性評(píng)價(jià)等也需要學(xué)生自我評(píng)價(jià)能力的調(diào)節(jié)，因此，教師教學(xué)時(shí)注重學(xué)生自我評(píng)價(jià)能力、自我意識(shí)能力的培養(yǎng)，有利于學(xué)生維持學(xué)習(xí)的積極性，有利于學(xué)生采用正確的認(rèn)知策略和方式進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)。
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