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正切、余切函數(shù)的圖象和性質(zhì)
函數(shù)（function）的定義通常分為傳統(tǒng)定義和近代定義，函數(shù)的兩個定義本質(zhì)是相同的，只是敘述概念的出發(fā)點不同，傳統(tǒng)定義是從運動變化的觀點出發(fā)，而近代定義是從集合、映射的觀點出發(fā)。下面是小編精心整理的正切、余切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，僅供參考，大家一起來看看吧。
正切、余切函數(shù)的圖象和性質(zhì)
張思明
教學(xué)目的：（略）
教學(xué)過程擇錄：
一、引題：
師：對比上一節(jié)的習(xí)題，請同學(xué)們看一看自己的作業(yè)本，對正弦和余弦函數(shù)，在作業(yè)中，我們已涉及了多少類型的問題？
生眾：P159（11）正弦，余弦函數(shù)的定義域； P158（3）正弦，余弦函數(shù)的最值（值域）； P158（6）正弦，余弦函數(shù)的奇偶性 P159（8）正弦，余弦函數(shù)的單調(diào)性 P159（7）正弦，余弦函數(shù)的應(yīng)用一-，-比大小 P158（4）正弦，余弦函數(shù)的周期（最小正周期） P159（12）正弦，余弦函數(shù)的圖象 P160（16、17）正弦，余弦函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用。
教師在黑板上書寫：
�。�1）定義域
�。�2）值域
�。�3）奇偶性
（4）單調(diào)性
�。�5）比大小
（6）求最小正周期
�。�7）作圖
�。�8）應(yīng)用
教師：今天我們來學(xué)習(xí)正切、余切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可以想一想，我們要觖決什么問題？
生眾：不就是上面這幾點問題嗎？
教師：說的不錯，我們就是要來解決把“正弦、余弦函數(shù)”換成“正切、余切函數(shù)”后（1）~（7）后面加一個“是什么？”這樣一些問題。請同學(xué)們帶的這些問題看書5分鐘（P153~P157）。
[評述]：這里是通過作業(yè)小結(jié)的方式引入問題。學(xué)生常常是很肓目的做作業(yè)，很少觀察作業(yè)所涉及的問題類型和范圍。教師有意識地引導(dǎo)學(xué)生作這種觀察，既培養(yǎng)了學(xué)生看課本的習(xí)慣，又自然引出了今天的課題和要探索解決的問題。
二、學(xué)生自己回顧性設(shè)問，（自問自答） 5分鐘以后：學(xué)生閱讀完畢，教師指導(dǎo)第一組學(xué)生（7人）為相鄰的同桌的同學(xué)（第二組學(xué)生）就前面七個方向提一個有關(guān)正、余切函數(shù)性質(zhì)的問題，要求是后面的同學(xué)不要提前面已經(jīng)提到過的問題，并請同桌同學(xué)（起立）對著大家回答。
做完后，問、答的兩組學(xué)生角色交換。其它組的同學(xué)一邊聽，一邊作判斷，對的放過，不對時請同一行的同學(xué)予以更正。
生1：正切函數(shù)的定義域是什么？
鄰生答：除了，k∈Z外的全體實數(shù)。
生2：正切函數(shù)的值域是整個y軸嗎？
鄰生改正：應(yīng)說成是全體實數(shù)
生3： ………
生10：學(xué)過四種三角函數(shù)都是奇數(shù)嗎？都是增函數(shù)嗎？
鄰生答：不對，反例是余弦函數(shù)）
生11：正切函數(shù)是它定義域上的增函數(shù)嗎？（好問題�。�
鄰生答：是，其它學(xué)生更正：不是。
教師追問理由………
生12：正切函數(shù)是一個周期為2的函數(shù)嗎？（含義不清的問題）
鄰生回答：準(zhǔn)確地說正切函數(shù)是最小正周期為的周期函數(shù)。
生13：余切函數(shù)也是一個以2為周期的周期函數(shù)，這個說法對嗎？
鄰生：不對， 另外的學(xué)生答：對，……… 學(xué)生即席討論………。
生14：怎樣由y=tgx的圖象得到y(tǒng)=ctgx的圖象？（好問題），鄰生答：可以先把y=tgx的圖象以x軸為軸，翻轉(zhuǎn)180度，再向右平移。
另一個鄰座同學(xué)：也可以先把y=tgx的圖象以y軸為軸，翻轉(zhuǎn)180度，再向右平移。
教師插說：我怎么不懂了？為什么把y=tgx的圖象以x軸為軸，翻轉(zhuǎn)180度和把y=tgx的圖象以y軸為軸，翻轉(zhuǎn)180度的效果一樣？
學(xué)生討論得到：因為y=tgx是奇函數(shù)，f(-x)=-f(x)。
教師又插說：非要先翻轉(zhuǎn)后平移嗎？
學(xué)生討論略。
[評論]學(xué)生自己設(shè)計問題，自問他答，其它學(xué)生協(xié)助判定是否正確，可以在很大程度上調(diào)動學(xué)生自己學(xué)習(xí)的主動性。但問題的難易控制有一定難度，先問的人設(shè)計問題相對容易些，可以用往復(fù)問答的方式來解決（第一個提問的學(xué)生將回答最后一個問題）。
鄰座的學(xué)生作答，同一橫行同學(xué)做答的是非判定，這樣做目的是讓反饋的更快、更廣些。
從學(xué)生問答情況看，基本達到了目的。
三、自己提出問題，設(shè)計問題，當(dāng)堂練習(xí)，自己作評價。
師：下面請第3組同學(xué)為大家設(shè)計一組課堂練習(xí)可以討論。（2分鐘）
要求是七個方面都要覆蓋。（七人上黑板，學(xué)生之間有交流，組長分配協(xié)調(diào)一人一個題，不使重復(fù)，2分鐘后題目完成）
請第4組同學(xué)上黑板解：其它同學(xué)在下面解。
再請第5組同學(xué)：評價題目和解法的長短。
請第6組同學(xué)對應(yīng)設(shè)計課后作業(yè)（C組題）。
請第7組同學(xué)：作全課的小結(jié)（談自己認為感覺最深幾點）
[評述]活動覆蓋面大，學(xué)生在教師控制的“方向”上直接參與練習(xí)設(shè)計，求解，并且加入練習(xí)題設(shè)計及解法的評價和全課小結(jié)，目的是讓學(xué)生學(xué)會“品題”，“品課”，這本身是對學(xué)生掌握學(xué)法的一種引導(dǎo)，對培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力十分重要。
第3組學(xué)生上黑板設(shè)計的題目：
�。�1）求函數(shù)的定義域。
�。�2）求函數(shù)的值域。
�。�3）比較和的大小。
�。�4）函數(shù)最小正周期是什么？
�。�5）求出的單調(diào)增區(qū)間。
�。�6）作出函數(shù)的圖象，并說明它是由y=tgx經(jīng)過怎樣的變換得到的。
（7）討論下面函數(shù)的奇偶性和最小周期：，y=tg (mx+n)+b
學(xué)生D組7人上黑板解題。
求解過程及改錯討論略。
學(xué)生E組評價：首先對D組的解答做出評判（略）
學(xué)生15：我覺得（3）設(shè)計的好，它要求先用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化成同名函數(shù)再比大小。
學(xué)生16：我先糾正解答中的錯誤，原解認為最小正周期是，這是一個明顯的錯誤，因為它不是正數(shù)。我覺得（4）設(shè)計的目的就是要考查最小正周期的表達式中絕對值這一個最容易被忽略的地方。我認為此題設(shè)計的很好。
學(xué)生17：我覺得（5）設(shè)計的不很好，原因是，對數(shù)后面根號似乎多余，因為對數(shù)對真數(shù)的要求和算術(shù)根大體一致。又復(fù)合函數(shù)的內(nèi)、外層函數(shù)y=lgt, 都是增函數(shù)，再討論遞增區(qū)間，顯得“挖潛”不夠，不如將y=lgt或換成某種減函數(shù)如。這樣可以考察到更多的復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的知識。
[評述]：這里有一個集體協(xié)作的場景，組長“派”任務(wù)和個人主動搶任務(wù)結(jié)合，學(xué)困生強以優(yōu)先，各盡其能，各顯所長。教師可以在旁邊觀察、欣賞、記錄。作出鼓勵或引導(dǎo)性的“旁白”。
第7組的兩個代表，上來做了全課的總結(jié)：
學(xué)生17：今天我們學(xué)習(xí)了正切、余切、函數(shù)的性質(zhì)，我覺得比較重要的是要把握函數(shù)的性質(zhì)，就要去研究什么東西？這里面主要是定義域，值域單調(diào)性、奇偶性、周期性，和由此得到的函數(shù)的圖象。對于正、余切函數(shù)的性質(zhì)我覺得通過它們的圖象去記憶，去理解是最容易的。只要記住函數(shù)的基本圖象，我們就可以說出相應(yīng)的性質(zhì)。簡單地說可以從圖象直觀走向看增減性、是否對稱看奇偶性、是否可重復(fù)看周期性………。
學(xué)生18：我覺得應(yīng)該補充的是：學(xué)習(xí)相關(guān)、相似知識時應(yīng)抓住區(qū)別�！扒小焙瘮�(shù)相對于與“弦”函數(shù)的區(qū)別在于：無最值，定義域“斷續(xù)”，周期“變短”，增減性變“單純”。 從我們的解決過問題看，用到最多的是轉(zhuǎn)化的思想：即把一個對復(fù)合函數(shù)性質(zhì)的討論轉(zhuǎn)化為對最基本的三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用。如：求定義域，就是利用基本余切函數(shù)y=ctgt的定義域是t≠k，k∈z，再把看成一個整體。令 從而解決問題。所以抓住最基本的函數(shù)的性質(zhì)是解決問題的根本。
教師：大家談的都很好，特別是評價組的同學(xué)不僅做出題目，還能“品出”出題者的本意，小結(jié)做的也很好。我請大家注意這節(jié)課的過程實際上給了我們學(xué)習(xí)新內(nèi)容的一種宏觀的程序：溫故（相關(guān)知識準(zhǔn)備）→新的學(xué)習(xí)對象與舊知識的聯(lián)系→類比提問、差異思考發(fā)現(xiàn)問題和學(xué)習(xí)目標(biāo)→找出規(guī)律，解決問題→應(yīng)用成果，練習(xí)鞏固（發(fā)散）→歸納收縮（小結(jié)）。這里的程序還沒有完，還有一段是：→進一步的發(fā)散思考，探索新的問題和規(guī)律。
這部分內(nèi)容常常是在課外進行的。 記得最后一位同學(xué)的小結(jié)中提到的“根本”是基本函數(shù)的基本性質(zhì)，這真的是很“根本”，因為我們今天所解決的問題都被化歸到這個地方。
[評述]：學(xué)生的小結(jié)和評價不一定很完整、全面，可以一人一點，互相補充。即使有錯誤，教師也不要急于糾正。最引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)、糾正。也可以讓其它學(xué)生來補充更正。
教師的評價應(yīng)是激勵性的。另外應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生注意學(xué)法，特別是對高一的學(xué)生。
作業(yè)：
A 組：P157~158（直接勾畫在書上）（練習(xí)）
B組：P161、18、20、21、22、23
C組：請第六組同學(xué)上黑板布置
�。�1）求函數(shù)y=tgx+cos2x和y=tgx-ctgx最小正周期。
（2）作出y=tgx·ctgx的圖象。
（3）討論y=atg(mx+n)+b (a>0，m≠0) 的性質(zhì)，及各個文字對函數(shù)圖象的影響。
（4）討論 討論函數(shù)y=sin9(cos7(tg5(ctg3x)))的單調(diào)遞減區(qū)間。 教師補充：
�。�5）當(dāng)較小時，如0<x<5°在一個有函數(shù)功能的計算器中，鍵入tgx 和sinx，比較顯示的結(jié)果，看看有什么發(fā)現(xiàn)？在力學(xué)題的考試中，有時常要計算小角度的正弦或正切值，在不讓使用計算器的和不能查表的情況下，你有什么補救辦法？
[評述]：A、B是基本要求，C組作為選做或探索題。讓學(xué)生設(shè)計C組題也是為了調(diào)動學(xué)生自主學(xué)習(xí)的積極性，因為學(xué)生更樂于解決自己的問題。
如C組題的（1）（2）設(shè)計的就不錯。
比如：（1）y=tgx-ctgx中的最小正周期不是，而是。這就需要借助于切割弦把它化成-ctg2x來發(fā)現(xiàn)。
（2）可以看出學(xué)生試圖將結(jié)果一般化，雖有一定困難，但值得鼓勵提倡。有時也會出“問題”。
如（3）的設(shè)計意圖很好，綜合應(yīng)用的意識特別強。可以看出的學(xué)生的設(shè)計意圖是把已學(xué)過的幾種函數(shù)的性質(zhì)“綜合”應(yīng)用到一起，出這道題的學(xué)生平時能力強、反應(yīng)快，但有重難題，忽視基本的傾向。
我看到這題在沒有反三角函數(shù)知識的情況下，求解、表達都有困難，已超出學(xué)生現(xiàn)有的水平，提出大家可以先思考而讓設(shè)計提出該問題的同學(xué)下次介紹他的解法。
在下次課上這位同學(xué)說他出題時考慮不夠，出完題沒想解題時候的困難，定義域不好描述，單調(diào)區(qū)間寫出有困難。我先肯定了這位同學(xué)的出題意圖，然后說實際問題有可能是這樣的。
我們在第一輪學(xué)習(xí)時應(yīng)注意基本。就這道題來說，將來學(xué)習(xí)反三角函數(shù)知識再解可能更容易一些，另一個辦法是用計算機（mathcad）軟件，可以作出圖象如下，從而可以分區(qū)間得到近似解。
x=1，1.0001---1.005 f(x)=sin(9cos(7tg(5ctg(3x))) 這樣做的目的是既給出激勵性`的評價，又通過問題中暴露的困難激發(fā)進一步學(xué)習(xí)的動力。
應(yīng)該承認這樣做是有一定風(fēng)險的，學(xué)生出的題目也會常常使教師陷入窘境，但師生在同一個起點去思考，去碰壁，去繞巖避礁，長使教師與學(xué)生都能得到更多的收獲。許多思考的技巧和解決問題的策略都是在這樣的交流中，無形的被激發(fā)、轉(zhuǎn)化、吸收。
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