立體幾何中二面角的平面角的定位（安慶懷寧）

立體幾何中二面角的平面角的定位（安慶懷寧） 3月20日 空間圖形的位置關(guān)系是立體幾何的重要內(nèi)容，解決立體幾何問(wèn)題的關(guān)鍵在于三定：定性分析→定位作圖→定量計(jì)算，其中定性是定位、定量的基礎(chǔ)，而宣則是定位、定性的深化，在面面關(guān)系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量歸結(jié)為平面上角的度量，一般來(lái)說(shuō)，對(duì)其平面角的定位是問(wèn)題解決的先決一步，可是，從以往的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生往往把握不住其定位的基本思路而導(dǎo)致思維混亂，甚至錯(cuò)誤地定其位，使問(wèn)題的解決徒勞無(wú)益，本文就是針對(duì)這一點(diǎn)，來(lái)談一談平日教學(xué)中體會(huì)。  一、 重溫二面角的平面角的定義  如圖（1），α、β是由ι出發(fā)的兩個(gè)平面,O是ι上任意一點(diǎn),OC  α，且OC⊥ι；CD β，且OD⊥ι。這就是二面角的平面角的環(huán)境背景，即∠COD是二面角α—ι—β的平面角，從中不難得到下列特征：    Ⅰ、過(guò)棱上任意一點(diǎn)，其平面角是唯一的；  Ⅱ、其平面角所在平面與其兩個(gè)半平面均垂直；  另外，如果在OC上任取上一點(diǎn)A，作AB⊥OD垂足為B,那么  由特征Ⅱ可知AB⊥β.突出ι、OC、OD、AB，這便是另一特征；  Ⅲ、體現(xiàn)出一完整的垂線定理（或逆定理）的環(huán)境背景。  對(duì)以上特征進(jìn)行剖析  由于二面角的平面角是由一點(diǎn)和兩條射線構(gòu)成，所以二面角的平面角的定位可化歸為“定點(diǎn)”或“定線（面）”的問(wèn)題。  特征Ⅰ表明，其平面角的定位可先在棱上取一“點(diǎn)”，耐人尋味的是這一點(diǎn)可以隨便取，但又總是不隨便取定的，它必須與問(wèn)題背景相互溝通，給計(jì)算提供方便。  例1 已知正三棱錐V—ABC側(cè)棱長(zhǎng)為a，高為b，求側(cè)面與底面所成的角的大小。  由于正三棱錐的頂點(diǎn)V在底面ABC上的射影H是底面的中心，所以連結(jié)CH交AB于O，且OC⊥AB，則∠VOC為側(cè)面與底面所成二面角的平面角如圖（2）。正因?yàn)檎�三棱錐的特性，解決此問(wèn)題，可以取AB的中點(diǎn)O為其平面角的頂點(diǎn)，而且使背景突出在面VOC上，給進(jìn)一步定量創(chuàng)造得天獨(dú)厚的條件。  特征Ⅱ指出，如果二面角α—ι—β的棱ι垂直某一平面γ與  α、β的交線，而交線所成的角就是α—ι—β的平面角，如圖。    由此可見(jiàn)，二面角的平面角的定位可以考慮找“垂平面”。  例2 矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿對(duì)角線BD把△ABD折起，  使點(diǎn)A在平面BCD上的射影A′落在BC上，求二面角A—BC-—C的大小。    這是一道由平面圖形折疊成立體圖形的問(wèn)題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵在  于搞清折疊前后“變”與“不變”。結(jié)果在平面圖形中過(guò)A作AE⊥BD交BD于O、交BC于E，則折疊后OA、OE與BD的垂直關(guān)系不變。但OA與OE此時(shí)變成相交兩線段并確定一平面，此平面必與棱垂直。由特征Ⅱ可知，面AOE與面ABD、面CBD的交線OA與OE所成的角，即為所求二面角的平面角。另外，A在面BCD上的射影必在OE所在的直線上，又題設(shè)射影落在BC上,所以E點(diǎn)就是A′，這樣的定位給下面的定量提供了優(yōu)質(zhì)服務(wù)。事實(shí)上，AO=AB·AD/BD=3*4/5=12/5，OA′=OE=BO·tgc∠CBD，而B(niǎo)O=AB2/BD=9/5, tg∠CBD，故OA′=27/20。在Rt△AA′O中，∠AA′O=90°所以cos∠AOA′=A′O/AO=9/16，ty∠AOA′=arccos9/16即所求的二面arccos9/16。  通過(guò)對(duì)例2的定性分析、定位作圖和定量計(jì)算，特征Ⅱ從另一角度告訴我們：要確定二面角的平面角，我們可以把構(gòu)成二面角的兩個(gè)半平面“擺平”，然后，在棱上選取一適當(dāng)?shù)拇咕�段，即可確定其平面角�！捌矫鎴D形”與“立體圖形”相映生輝，不僅便于定性、定位，更利于定量。  特征Ⅲ顯示，如果二面角α—ι—β的兩個(gè)半平面之一，存在垂線段AB，那么過(guò)垂足B作ι的垂線交ι于O，連結(jié)AO，由三垂線定理可知OA⊥ι；或者由A作ι的垂線交ι于O，連結(jié)OB，由三垂線定理逆定理可知OB⊥ι，此時(shí)，∠AOB就是二面角α—ι—β的平面角，如圖。    由此可見(jiàn)，地面角的平面角的定位可以找“垂線段”。    例3 在正方體ABCD—A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為2，E為BC的中點(diǎn)。求面B1D1E與面積BB1C1C所成的二面角的大小。  例3的環(huán)境背景表明，面B1D1E與面BB1C1C構(gòu)成兩個(gè)二面角，  由特征Ⅱ可知，這兩個(gè)二面角的大小必定互補(bǔ)，下面，如  果思維由特征Ⅲ監(jiān)控,背景中的線段C1D1會(huì)使眼睛一亮,我們只須由C1(或D1)作B1E的垂線交B1E于O,然后連結(jié)OD1(或OC1),即得面D1BE與面CC1B1E所成二面角的平面角∠C1OD1，如圖，計(jì)算可得C1O=4*51/2/5。  在Rt△D1C1O中，tg∠C1OD=D1C1/C1O=51/2/2。  故所求的二面角角為arctg51/2/2或π-arctg=51/2/2  三、三個(gè)特征的關(guān)系  以上三個(gè)特征提供的思路在解決具體總是時(shí)各具特色，其標(biāo)的是  分別找“點(diǎn)”、“垂面”、“垂線段”。事實(shí)上，我們只要找到其中一個(gè)，另兩個(gè)就接踵而來(lái)。掌握這種關(guān)系對(duì)提高解題技能和培養(yǎng)空間想象力非常重要。  1、 融合三個(gè)特征對(duì)思維的監(jiān)控，可有效地克服、抑制思維的  消極作用，培養(yǎng)思維的廣闊性和批判性。  例3 將棱長(zhǎng)為a的正四面體的一個(gè)面與棱長(zhǎng)為a的正四棱錐的  一個(gè)側(cè)面吻合，則吻合后的幾何呈現(xiàn)幾個(gè)面？    這是一道競(jìng)賽題，考生答“7個(gè)面”的占99.9%，少數(shù)應(yīng)服從多數(shù)嗎？  如圖，過(guò)兩個(gè)幾何體的高線VP、VQ的垂足P、Q分別作BC的垂線，則垂足重合于O，且O為BC的中點(diǎn)，OP延長(zhǎng)過(guò)A，OQ延長(zhǎng)交ED于R。由特征Ⅲ，∠AOR為二面角A—BC—R平面角，結(jié)合特征Ⅰ、Ⅱ，可得VAOR為平行四邊形，VA//BE，所以V、A、B、E共面，同理V、A、C、D共面，所以這道題的答案應(yīng)該是5個(gè)面！  2、 三個(gè)特征，雖然客觀存在，互相聯(lián)系，但在許多同題中卻  表現(xiàn)得含糊而冷漠——三個(gè)“標(biāo)的”均藏而不露，在這種形勢(shì)下，逼你去作，那么作誰(shuí)？  由特征Ⅲ，有了“垂線段”便可定位。  例4 已知Rt△ABC的兩直角邊AC=2，BC=3，P為斜邊上一  點(diǎn)，沿CP將此直角三角形折成直二面角A—CP—B，當(dāng)AB=71/2時(shí)，求二面角P—AC—B的大小。    作法一：∵A—CP—B為直角二面角，  ∴過(guò)B作BD⊥CP交CP的延長(zhǎng)線于D，則BD⊥DM APC。  ∴過(guò)D作DE ⊥AC，垂足為E，連BE。  ∴∠DEB為二面角A—CP—B的平面角。  作法二：過(guò)P點(diǎn)作PD′⊥PC交BC于D′，則PD′⊥面APC。  ∴過(guò)D′作D′E′⊥AC，垂足為E′，邊PE′，  ∴∠D′E′P為二面角P—AC—B的平面角。  再說(shuō)，定位是為了定理，求角的大小往往要化歸到一個(gè)三角形中去解，有了“垂線段”就可把它化歸為解一個(gè)直角三角形。  由此可見(jiàn)，要作，最好考慮作“垂線段”。  綜上所述，二面角其平面角的正確而合理的定位，要在正確其定義的基礎(chǔ)上，掌握其三個(gè)基本特征，并靈活運(yùn)用它們考察問(wèn)題的環(huán)境背景，建立良好的主觀心理空間和客觀心理空間，以不變應(yīng)萬(wàn)變。  （載1995年第6期《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》）     安慶懷寧        

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