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橢 圓 及 其 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程
橢 圓 及 其 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 胡挺員 10月16日 《中學(xué)數(shù)學(xué)》 1 觀察與實驗（課外完成） T：在自然界、科學(xué)界、技術(shù)界乃至我們的生活中都存在大量的“橢圓”形態(tài)，請大家注意觀察，看能發(fā)現(xiàn)多少；并根據(jù)書上介紹的用繩子畫橢圓的方法試著畫些橢圓。 2 閱讀與交流（1課時） 觀察與實驗的交流（略） T：鑒于橢圓的重要性，我們有必要進一步對其進行定性和定量的研究。下面請大家閱讀本節(jié)教材，對重、疑點作出標(biāo)記，并盡可能用自己的想法進行解釋。半小時后我們一起交流（教師巡回指導(dǎo)）。 T：下面我們開始交流。有疑的提問，無疑的為同學(xué)或者為我釋疑。 S：（1）為什么要把“焦距”和“常數(shù)”設(shè)為2c和2a?而不設(shè)為c和a？ （2）在“設(shè)a2-c2=b2“時，為什么要規(guī)定”b>0"? （3）是否可以按畫圓的直觀圖的方法畫橢圓？ T：（4）改變橢圓定義中“大于|F1F2|”結(jié)果如何？ （5）推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方程變形過程是否為等價變形？ （釋疑過程略） 3 探索與創(chuàng)新（課外完成） T：江澤民同志多次強調(diào)指出：“創(chuàng)新是一個民族進步的靈魂，是一個國家興旺發(fā)達的不竭動力�！保ā度嗣袢請蟆�1998年12月24日）。那么，對橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)你能否通過探索有所創(chuàng)新？下堂課展示大家的研究成果。 4 成果與點評（約1課時） 思路一：（S俞滄粟等）由A+B=2a，左邊分子有理化，建立關(guān)于A、B的方程組，求出A或B，… T：逆向思維、方程思想！ 思路二：（S王一克等）由A+B=2a，為迅速去根號，尋找與之配偶的共軛根式A-B=？。令A(yù)-B=Z，與A+B=2a聯(lián)立解得Z，進而求出A、B�！� T：求簡意識、方程思想！ 思路三：（S周元、李高艷等提出思路）受用細繩畫橢圓的實驗的啟發(fā)（當(dāng)兩定點漸漸靠近重合為一點時，橢圓變?yōu)閳A），試圖尋找橢圓和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程之間的聯(lián)系。由圓x2+y2=a2各點的縱坐標(biāo)縮短到原來的b/a倍得到橢圓x2+(a/b)2y2=1,即x2/a2+y2/b2=1。 T：實驗的感知、理性的思索！ 思路四：（S孫亮、王韻等）受例2啟發(fā)，由兩圓方程（x+c）2+y2=r2與(x-c)2+y2=(2a-r)2（r為參數(shù)）聯(lián)立獲得。 T：得益于對“曲線的方程”的深刻理解和轉(zhuǎn)化的思想！ 思路五：（S俞滄粟、孫亮等）由(x/a)2+(y/b)2=1聯(lián)想Sin2a+Cos2a=1,為使兩者溝通，想到了三角函數(shù)定義。利用分別以a、b為半徑，以原點為圓心的兩個同心圓進行構(gòu)造（是一條獲得橢圓參數(shù)方程的精彩思路）。 T：反思、聯(lián)想、構(gòu)造、數(shù)形結(jié)合。 思路六：（T）由A+B=2a直接平方整理，注意結(jié)構(gòu)特征，進行合理運算——膽量與智慧的結(jié)合！ 思路七：（T）一個定點、一個定值的情況我們熟悉，為此，先考慮一個定點F1和一個定長2a（拉成一條線段）的情形，由此可發(fā)現(xiàn)，橢圓就是以F1為圓心、2a為半徑的圓的半徑的外端點與F2的連線的垂直平分線與該半徑的交點的軌跡——退一步，實現(xiàn)轉(zhuǎn)化！選修“幾何畫板的學(xué)習(xí)和應(yīng)用”的同學(xué)不妨在電腦上玩一玩，你將會獲得橢圓之外的驚喜！ 5 反思與伏筆 T：上面我們根據(jù)橢圓的定義得到了推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的許多思路（思路一~四、六），是由“形”到“數(shù)”的過程；又通過對標(biāo)準(zhǔn)方程的反思，獲得了推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)方程的新思路（思路五），是由“數(shù)”再到“數(shù)”的過程。還運用了以退求進的策略對橢圓作出了另一種解釋（思路七），這顯然是從“形”到“形”的收獲。那么，你能否從“數(shù)”到“形”再作些研究？比如由a2-cx=aB進行適當(dāng)變形，對橢圓作出新的幾何解釋？
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