自然數(shù)集擴充后的基數(shù)理論

摘　要:自然數(shù)集擴充后,其基數(shù)理論起了相應變化,定義與法則都需作調(diào)整以適應數(shù)學教學與應用的需要.

　　1994年11月國家技術監(jiān)督局發(fā)布的《中華人民共和國國家標準,物理科學和技術中使用的數(shù)學符號》中,將自然數(shù)集記為

N={0,1,2,3,…}

而將原自然數(shù)集稱為非零自然數(shù)集

N+(或N*)={1,2,3,…}.

　　自然數(shù)集擴充后,文[1]中的自然數(shù)的基數(shù)理論以及其他一些與自然數(shù)有關的理論問題隨之起變化,這給數(shù)學教學與數(shù)學應用產(chǎn)生一定影響.為此,我們將自然數(shù)的基數(shù)理論討論如下.

1　對自然數(shù)的來源的認識

　　由于自然數(shù)的概念是建立在基數(shù)理論[1]之上的,基數(shù)是由集合對等而來.最初人類對物品的計數(shù),是將物品與人的手指(腳趾)數(shù)形成映射關系,物品既然存在“多少”,也就存在“有”或“沒有”,“沒有”即可認為是空集,其計數(shù)應當是零.這就是說,零與非零自然數(shù)是人類認識同步的客觀現(xiàn)象,而并非是6世紀才有零的概念.也許這就是將零補充到自然數(shù)集的緣由之一.事實上,國外許多文獻和專家早就主張將零作為第一個自然數(shù).

2　自然數(shù)的新概念

　　自然數(shù)擴充后,包含了空集的基數(shù),要去掉原有自然數(shù)定義中“非空”的限制條件,即定義1　有限集合的基數(shù)叫做自然數(shù).根據(jù)對等的概念,可以建立N與N+的一一映射關系f:

N↓={0,↓1,↓2,↓3,↓…}N+={1,2,3,4,…}

　　由此可見,N與N+有相同的基數(shù),即|N|=|N+|.

3　自然數(shù)的四則運算

　　自然數(shù)加法、乘法運算義定只要去掉原有定義中的“非空”二字即可,亦即

　　定義2　設有有限集合A和B,且A∩B=Φ(A,B分離).若記A∪B=C,集合A,B,C的基數(shù)分別是a,b和c,那么c叫做a與b的和,記作

　　a+b=c.

　　a和b叫做加數(shù).求兩個數(shù)的和的運算叫做加法.

　　定義3　設有m(m>1)個相互對等,且兩兩分離的有限集合A1,A2,A3,…,Am,它們的基數(shù)都是n.又設A=Umi=1Ai,A的基數(shù)記作

　　a,即有a=n+n+…+nm個,這個a就叫做n乘以m的積,記作a=n×m,或a=n.m,或a=nm.n稱為被乘數(shù),m稱為乘數(shù).求兩個數(shù)積的運算叫做乘法.

　　對于數(shù)0,1,補充義定:n和0的積是0,n和1的積是n,即n.0=0,n.1=1.

　　在上述定義里,加法、乘法的交換律、結合律,乘法對于加法的分配律仍然成立.

　　關于減法運算的定義,除了去掉“非空”二字外,集合B可以是A本身,即

　　定義4　設有有限集合A和B,B A,若記A-B=C,且A,B,C的基數(shù)分別記作a,b,c,那么c叫做a,b的差,記作

　　a-b=c.

　　a叫做被減數(shù),b叫做減數(shù).求兩個數(shù)差的運算叫做減法.

　　除法是乘法的逆運算,在原定義中要限定“除數(shù)非零”即可.

　　定義5　設a,b(b≠0)是兩個自然數(shù),如果存在一個自然數(shù)c,使得bc=a,那么c叫做a除以b所得的商,記作

　　ab=c,或a÷b=c.

　　a稱為被除數(shù),b稱為除數(shù).求兩個數(shù)商的運算叫做除法.

4　自然數(shù)的有關性質

　　(1)自然數(shù)的有序性決定了自然數(shù)可以比較大小,即

　　定義6　如果兩個有限集合A,B的基數(shù)分別為a,b,那么

1°　當A A′,A′～B時,a>b;
2°　當B′ B,A～B′時,a<b;
3°　當A～B時,a=b.

　　自然數(shù)有反身律:a=a;對稱律:若a=b,則b=a;傳遞律:若a≥b,b≥c,則a≥c.

　　自然數(shù)從小到大的排序為

　　0,1,2,3,….

　　(2)自然數(shù)的單調(diào)性反映了不等量關系中的運算性質,擴充后的自然數(shù)其單調(diào)性有了局部性改變,即

　　若a≥b,則

1°　a+c≥b+c;
2°　當c>0時,ac≥bc,
當c=0時,ac=bc.

　　對于與自然數(shù)有關的數(shù)學論證與原理,應隨自然數(shù)擴充后作相應調(diào)整.如數(shù)學歸納法證明的步驟應是

1°　驗證n=0時,命題成立;
2°　假設n=k-1時成立,則n=k時命題成立.

　　自然數(shù)的其他理論[2],本文不再贅述.

　

參　　考　　文　　獻

1　麻紹芯.算術原理[M].武漢:湖北科學技術出版社,1993.

2　胡炳生.關于擴充自然數(shù)集的幾個理論問題[J].數(shù)學通報,1998,(11):1～3

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