關(guān)于小學數(shù)學教學中滲透數(shù)學思想方法的思考

    一、小學數(shù)學教學中滲透數(shù)學思想方法的必要性
    所謂數(shù)學思想，是指人們對數(shù)學理論與內(nèi)容的本質(zhì)認識，它直接支配著數(shù)學的實踐活動。所謂數(shù)學方法， 是指某一數(shù)學活動過程的途徑、程序、手段，它具有過程性、層次性和可操作性等特點。數(shù)學思想是數(shù)學方法 的靈魂，數(shù)學方法是數(shù)學思想的表現(xiàn)形式和得以實現(xiàn)的手段，因此，人們把它們稱為數(shù)學思想方法。
    小學數(shù)學教材是數(shù)學教學的顯性知識系統(tǒng)，許多重要的法則、公式，教材中只能看到漂亮的結(jié)論，許多例 題的解法，也只能看到巧妙的處理，而看不到由特殊實例的觀察、試驗、分析、歸納、抽象概括或探索推理的 心智活動過程。因此，數(shù)學思想方法是數(shù)學教學的隱性知識系統(tǒng)，小學數(shù)學教學應包括顯性和隱性兩方面知識 的教學。如果教師在教學中，僅僅依照課本的安排，沿襲著從概念、公式到例題、練習這一傳統(tǒng)的教學過程， 即使教師講深講透，并要求學生記住結(jié)論，掌握解題的類型和方法，這樣培養(yǎng)出來的學生也只能是“知識型” 、“記憶型”的，將完全背離數(shù)學教育的目標。
    在認知心理學里，思想方法屬于元認知范疇，它對認知活動起著監(jiān)控、調(diào)節(jié)作用，對培養(yǎng)能力起著決定性 的作用。學習數(shù)學的目的“就意味著解題”（波利亞語），解題關(guān)鍵在于找到合適的解題思路，數(shù)學思想方法 就是幫助構(gòu)建解題思路的指導思想。因此，向?qū)W生滲透一些基本的數(shù)學思想方法，提高學生的元認知水平，是 培養(yǎng)學生分析問題和解決問題能力的重要途徑。
    數(shù)學知識本身是非常重要的，但它并不是惟一的決定因素，真正對學生以后的學習、生活和工作長期起作 用，并使其終生受益的是數(shù)學思想方法。未來社會將需要大量具有較強數(shù)學意識和數(shù)學素質(zhì)的人才。21世紀國 際數(shù)學教育的根本目標就是“問題解決”。因此，向?qū)W生滲透一些基本的數(shù)學思想方法，是未來社會的要求和 國際數(shù)學教育發(fā)展的必然結(jié)果。
    小學數(shù)學教學的根本任務是全面提高學生素質(zhì)，其中最重要的因素是思維素質(zhì)，而數(shù)學思想方法就是增強 學生數(shù)學觀念，形成良好思維素質(zhì)的關(guān)鍵。如果將學生的數(shù)學素質(zhì)看作一個坐標系，那么數(shù)學知識、技能就好 比橫軸上的因素，而數(shù)學思想方法就是縱軸的內(nèi)容。淡化或忽視數(shù)學思想方法的教學，不僅不利于學生從縱橫 兩個維度上把握數(shù)學學科的基本結(jié)構(gòu)，也必將影響其能力的發(fā)展和數(shù)學素質(zhì)的提高。因此，向?qū)W生滲透一些基 本的數(shù)學思想方法，是數(shù)學教學改革的新視角，是進行數(shù)學素質(zhì)教育的突破口。
    二、小學數(shù)學教學中應滲透哪些數(shù)學思想方法
    古往今來，數(shù)學思想方法不計其數(shù)，每一種數(shù)學思想方法都閃爍著人類智慧的火花。一則由于小學生的年 齡特點決定有些數(shù)學思想方法他們不易接受，二則要想把那么多的數(shù)學思想方法滲透給小學生也是不大現(xiàn)實的 。因此，我們應該有選擇地滲透一些數(shù)學思想方法。筆者認為，以下幾種數(shù)學思想方法學生不但容易接受，而 且對學生數(shù)學能力的提高有很好的促進作用。
    1.化歸思想
    化歸思想是把一個實際問題通過某種轉(zhuǎn)化、歸結(jié)為一個數(shù)學問題，把一個較復雜的問題轉(zhuǎn)化、歸結(jié)為一個 較簡單的問題。應當指出，這種化歸思想不同于一般所講的“轉(zhuǎn)化”、“轉(zhuǎn)換”。它具有不可逆轉(zhuǎn)的單向性。
    例1 狐貍和黃鼠狼進行跳躍比賽，狐貍每次可向前跳4 1／2 米，黃鼠狼每次可向前跳2 3／4米。它們每 秒種都只跳一次。比賽途中，從起點開始，每隔12 3／8米設有一個陷阱， 當它們之中有一個掉進陷阱時，另 一個跳了多少米？
    這是一個實際問題，但通過分析知道，當狐貍（或黃鼠狼）第一次掉進陷阱時，它所跳過的距離即是它每 次所跳距離4 1／2（或2 3／4）米的整倍數(shù)，又是陷阱間隔12 3／8米的整倍數(shù)，也就是4 1／2和12 3／8的“ 最小公倍數(shù)”（或2 3／4和12 3／8的“最小公倍數(shù)”）。針對兩種情況，再分別算出各跳了幾次，確定誰先掉 入陷阱，問題就基本解決了。上面的思考過程，實質(zhì)上是把一個實際問題通過分析轉(zhuǎn)化、歸結(jié)為一個求“最小 公倍數(shù)”的問題，即把一個實際問題轉(zhuǎn)化、歸結(jié)為一個數(shù)學問題，這種化歸思想正是數(shù)學能力的表現(xiàn)之一。
    2.數(shù)形結(jié)合思想
    數(shù)形結(jié)合思想是充分利用“形”把一定的數(shù)量關(guān)系形象地表示出來。即通過作一些如線段圖、樹形圖、長 方形面積圖或集合圖來幫助學生正確理解數(shù)量關(guān)系，使問題簡明直觀。
    例2 一杯牛奶，甲第一次喝了半杯，第二次又喝了剩下的一半，就這樣每次都喝了上一次剩下的一半。甲 五次一共喝了多少牛奶？
    附圖{圖}
    此題若把五次所喝的牛奶加起來，即1／2＋1／4＋1／8＋1／16＋1／32就為所求，但這不是最好的解題策 略。我們先畫一個正方形，并假設它的面積為單位“1”，由圖可知，1－1／32就為所求， 這里不但向?qū)W生滲 透了數(shù)形結(jié)合思想，還向?qū)W生滲透了類比的思想。
    3.變換思想
    變換思想是由一種形式轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N形式的思想。如解方程中的同解變換，定律、公式中的命題等價變換 ，幾何形體中的等積變換，理解數(shù)學問題中的逆向變換等等。
    例3 求1／2＋1／6＋1／12＋1／20＋……＋1／380的和。
    仔細觀察這些分母，不難發(fā)現(xiàn)：2＝1×2，6＝2×3，12＝3×4， 20＝4×5……380＝19×20，再用拆分的 方法，考慮和式中的一般項
    a[,n]＝1／n×（n＋1）＝1／n－1／n＋1
    于是，問題轉(zhuǎn)換為如下求和形式：
    原式＝1／1×2＋1／2×3＋1／3×4＋1／4×5＋……＋1 ／19×20
    ＝（1－1／2）＋（1／2－1／3）＋（1／3－1／4）＋（1 ／4－1／5）＋……＋（1／19－1／20）
    ＝1－1／20
    ＝19／20
    4.組合思想
    組合思想是把所研究的對象進行合理的分組，并對可能出現(xiàn)的各種情況既不重復又不遺漏地一一求解。
    例4 在下面的乘法算式中，相同的漢字代表相同的數(shù)字， 不同的漢字代表不同的數(shù)字，求這個算式。
    從小愛數(shù)學
    × 4
    ──────
    學數(shù)愛小從
    分析：由于五位數(shù)乘以4的積還是五位數(shù)， 所以被乘數(shù)的首位數(shù)字“從”只能是1或2，但如果“從”＝1， “學”×4的積的個位應是1，“學”無解。所以“從”＝2。
    在個位上，“學”×4的積的個位是2，“學”＝3或8。但由于“學”又是積的首位數(shù)字，必須大于或等于 8，所以“學”＝8。
    在千位上，由于“小”×4不能再向萬位進位，所以“小”＝1 或0。若“小”＝0，則十位上“數(shù)”×4＋ 3（進位）的個位是0，這不可能，所以“小”＝1。
    在十位上，“數(shù)”×4＋3（進位）的個位是1，推出“數(shù)”＝7。
    在百位上，“愛”×4＋3（進位）的個位還是“愛”，且百位必須向千位進3，所以“愛”＝9。
    故欲求乘法算式為
    2 1 9 7 8
    × 4
    ──────
    8 7 9 1 2
    上面這種分類求解方法既不重復，又不遺漏，體現(xiàn)了組合思想。
    此外，還有符號思想、對應思想、極限思想、集合思想等，在小學數(shù)學教學中都應注意有目的、有選擇、 適時地進行滲透。
    三、小學數(shù)學教學應如何加強數(shù)學思想方法的滲透
    1.提高滲透的自覺性
    數(shù)學概念、法則、公式、性質(zhì)等知識都明顯地寫在教材中，是有“形”的，而數(shù)學思想方法卻隱含在數(shù)學 知識體系里，是無“形”的，并且不成體系地散見于教材各章節(jié)中。教師講不講，講多講少，隨意性較大，常 常因教學時間緊而將它作為一個“軟任務”擠掉。對于學生的要求是能領(lǐng)會多少算多少。因此，作為教師首先 要更新觀念，從思想上不斷提高對滲透數(shù)學思想方法重要性的認識，把掌握數(shù)學知識和滲透數(shù)學思想方法同時 納入教學目的，把數(shù)學思想方法教學的要求融入備課環(huán)節(jié)。其次要深入鉆研教材，努力挖掘教材中可以進行數(shù) 學思想方法滲透的各種因素，對于每一章每一節(jié)，都要考慮如何結(jié)合具體內(nèi)容進行數(shù)學思想方法滲透，滲透哪 些數(shù)學思想方法，怎么滲透，滲透到什么程度，應有一個總體設計，提出不同階段的具體教學要求。
    2.把握滲透的可行性
    數(shù)學思想方法的教學必須通過具體的教學過程加以實現(xiàn)。因此，必須把握好教學過程中進行數(shù)學思想方法 教學的契機——概念形成的過程，結(jié)論推導的過程，方法思考的過程，思路探索的過程，規(guī)律揭示的過程等。 同時，進行數(shù)學思想方法的教學要注意有機結(jié)合、自然滲透，要有意識地潛移默化地啟發(fā)學生領(lǐng)悟蘊含于數(shù)學 知識之中的種種數(shù)學思想方法，切忌生搬硬套、和盤托出、脫離實際等適得其反的做法。
    3.注重滲透的反復性
    數(shù)學思想方法是在啟發(fā)學生思維過程中逐步積累和形成的。為此，在教學中，首先要特別強調(diào)解決問題以 后的“反思”，因為在這個過程中提煉出來的數(shù)學思想方法，對學生來說才是易于體會、易于接受的。如通過 分數(shù)和百分數(shù)應用題有規(guī)律的對比板演，指導學生小結(jié)解答這類應用題的關(guān)鍵，找到具體數(shù)量的對應分率，從 而使學生自己體驗到對應思想和化歸思想。其次要注意滲透的長期性，應該看到，對學生數(shù)學思想方法的滲透 不是一朝一夕就能見到學生數(shù)學能力提高的，而是有一個過程。數(shù)學思想方法必須經(jīng)過循序漸進和反復訓練， 才能使學生真正地有所領(lǐng)悟。

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