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一堂節(jié)外生枝的數(shù)學(xué)探究課——“探索勾股定理”教學(xué)案例
浙江金華市磐安縣 尖山鎮(zhèn)中 陳永平“嗬，這堂節(jié)外生枝的數(shù)學(xué)探究課真是意想不到！沒想到新課程熏染出來的學(xué)生動手操作能力這么強，想象力那么豐富，不可小看他們……”一旦我回味起那堂課，耳邊止不住地響起我當(dāng)時贊嘆的話。那堂課我雖沒有完成預(yù)設(shè)目標(biāo)，但同學(xué)們的動手操作能力和想象力出乎我的意料，令我驚喜、喟嘆！
那是2005學(xué)年的第一堂課——1.1探索勾股定理（北師大版數(shù)學(xué)八年級上冊）。我很擔(dān)心學(xué)生對這節(jié)內(nèi)容缺乏直觀認(rèn)識，生怕學(xué)生第一節(jié)課就遇到困難，失去信心。我精心地設(shè)計了教學(xué)方案，一遍又遍地溫習(xí)本堂課的兩個教學(xué)環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)和同學(xué)們一起探索勾股定理的來歷，為學(xué)生提供合情推理的意識，讓學(xué)生感知直角三角形斜邊與直角邊的關(guān)系；第二環(huán)節(jié)鞏固勾股定理，為激發(fā)興趣，讓學(xué)生富有激情地應(yīng)用勾股定理，設(shè)計了精彩的富有生活氣息的數(shù)學(xué)實例，制作了多個全等的直角三角形和大小相同、不同的正方形，并把課堂移到了多媒體教室……。
第一環(huán)節(jié)按照預(yù)設(shè)學(xué)生積極地探索著：
1、數(shù)格子
觀察圖1－1
正方形A中含有_____個小方格，即A的面積是_____個單位面積；
正方形B中含有_____個小方格，即B的面積是_____個單位面積；
正方形C中含有_____個小方格，即C的面積是_____個單位面積。
觀察圖1－2，
正方形A，B，C中各含有多少個小方格？
正方形A，B，C的面積各是多少？
（圖中每個小方格代表一個單位面積）
再觀察圖1－3、圖1－4
2、議一議
（1）你能用三角形的邊長表示正方形的面積嗎？
（2）你能發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊長度之間存在什么關(guān)系嗎？
（3）分別以5厘米、12厘米為直角邊作出一個直角三角形，并測量斜邊的長度。（2）中的規(guī)律對這個三角形仍然成立嗎？
通過以上兩個步驟學(xué)生經(jīng)歷了勾股定理的探究過程，很快發(fā)現(xiàn)了勾股定理：
如果直角三角形的兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么 ，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。
3、拼圖驗證
用4個全等的直角三角形拼成如下圖形，通過討論學(xué)生很快驗證了勾股定理：
由面積計算可得
展開得
化間得
我正準(zhǔn)備過度到第二環(huán)節(jié)時……。“老師，把圖中的直角三角形翻轉(zhuǎn)一下，也可驗證勾股定理�！币粋�學(xué)生一邊說，一邊已走上講臺。這是平時被我養(yǎng)成的一個“壞習(xí)慣”，在學(xué)習(xí)中，發(fā)現(xiàn)了什么問題，未經(jīng)老師同意就可上講臺表演。這個學(xué)生是班里的“大炮”，直性子，頭腦靈活，反映速度敏捷，他叫張挺挺。他拿著手中拼成的圖形先展示給全班學(xué)生，并哧哧哧地在黑板上畫出了下列圖形，寫上了驗證過程。
由面積計算可得
展開得
化簡得
他那嫻熟的技巧我不禁暗暗叫絕，一陣掌聲響起，得到了大家稱贊。
“還可以這樣拼�！睌�(shù)學(xué)課代表張慧慧那清脆的聲音在教室想起，她性格有點犟，有較強的管理能力，我班數(shù)學(xué)成績之所以不錯，也有她的一份功勞。我本想不叫她，但想到她平時每堂課都非要表現(xiàn)一回（班內(nèi)學(xué)生積極發(fā)言離不開她的帶頭作用），否則心理就不舒坦的樣子。為不影響她第一堂課的積極性，于是，我還是請她上來。
“將兩個全等的直角三角形和一個等腰直角三角形拼成一個梯形就可以驗證，一邊說一邊已畫出了圖形，并寫上了驗證過程：
由面積計算可得
展開得
化簡得
展示后興奮地說：“這是美國總統(tǒng)的拼證法�！币痪湓捯萌嗤瑢W(xué)哄堂大笑。“亂說，她亂說”，同學(xué)們七嘴八舌的議論著，表示不信�！安�！這是我在網(wǎng)上學(xué)到的，昨天晚上我為了把今天的數(shù)學(xué)課學(xué)好，先預(yù)習(xí)了課本，后又查了電腦，剛才老師拼的圖是古代一位印度人的拼證法，張挺挺拼的圖實際上是我國古代趙爽的拼證法”她又委屈又自豪地說。
聽到慧慧同學(xué)如此肯定的語句，同學(xué)們驚訝了，但從他們的眼神中看出還是半信半疑，當(dāng)我點頭肯定她的說法時，張挺挺跳了起來大聲喊道：“我是趙爽！”當(dāng)時的他那興奮的情景真是無法想象，全體同學(xué)那熱烈的掌聲時常在我的腦海里響著。我心中暗喜：一位剛進入初二的學(xué)生竟知道了這么許多，有這樣的鉆研精神，真令人贊賞、敬佩。
此時，時間已過去了一大半，可班內(nèi)這陣勢，這氣氛，真使我無法轉(zhuǎn)向第二個環(huán)節(jié)。我猛然想起，這不就是培養(yǎng)學(xué)生動手操作能力嗎？這種生成的機遇若不抓住，何等的可惜。于是，我順?biāo)浦郏骸斑�有別的拼法嗎？”
平時言語不多的胡碧瑩上來了。她一口氣流利地敘述了以下過程：
把圖甲中的4個直角三角形移位，成為圖乙。因為圖甲與圖乙兩個大正方形的面積相等，所以：
甲正方形的面積
乙正方形的面積
∴
甲 乙
她展示后，把眼睛的視線投向了張慧慧，意思是說，這又是古代什么人拼的？張慧慧沒有回答上來。我告訴她說：這是我國西周開國時期的“商高”發(fā)現(xiàn)的。此時，同學(xué)們大聲地喊出：“胡碧瑩是商高”！喜悅的胡碧瑩帶者對老師敬佩的笑容回到了座位。
頑皮的張漢陽、張剛彪同時走上了講臺，又引發(fā)了同學(xué)們的哄堂大笑，他們不約而同地模仿胡碧瑩方法，將張挺挺拼成的圖作了如下移位：
用同樣的方法驗證了勾股定理。
同學(xué)們還在熱烈的探索著，不知誰叫了一聲“下課了”！我看了一下手表，已超過2分多鐘了……
于是，我趕緊“急剎車”，鼓勵一番后說：“人類對勾股定理的發(fā)現(xiàn)，少說也有5000多年，到目前為止已有400多種驗證方法，我們本節(jié)課探索的只是幾種方法，而我國是發(fā)現(xiàn)勾股定理最早的國家之一�！�
��！“勾股定理”真有趣！我國的古人真棒！隨著一聲聲喜悅的贊嘆聲轉(zhuǎn)向了下一堂課。
教學(xué)反思
這的確是一堂節(jié)外生枝的數(shù)學(xué)探究課，我原本準(zhǔn)備先探索、驗證勾股定理，接著鞏固應(yīng)用，時間分配各一半。誰知學(xué)生卻發(fā)現(xiàn)了這么許多驗證勾股定理的拼證法，讓我實在始料不及，現(xiàn)在回憶起來慶幸當(dāng)時調(diào)整教學(xué)思路，改變教學(xué)方式，圍繞學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)的問題展開探究。本案例滿足了學(xué)生的探究欲望，把學(xué)習(xí)的主動權(quán)還給了學(xué)生，生成了新型的師生關(guān)系，讓學(xué)生體驗到學(xué)數(shù)學(xué)的樂趣，培養(yǎng)了學(xué)生的探究精神和動手操作能力，給了我和學(xué)生許多意想不到的收獲。
1、滿足學(xué)生的探究欲望
新課程強調(diào)課堂教學(xué)是一個動態(tài)生成的過程，預(yù)設(shè)是為了更好的生成。蘇霍姆林斯基曾說：“教育的技巧并不在于能預(yù)見的細(xì)節(jié)，而在于根據(jù)當(dāng)時的具體情況，巧妙地在學(xué)生不知不覺中做出了相應(yīng)的變動”。本案例滿足學(xué)生的探究欲望，針對學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)的問題進行探索，學(xué)生表現(xiàn)出來的探究熱情空前高漲，課堂氣氛異�；钴S，知識掌握根深蒂固，而且拼圖和驗證的模型比老師預(yù)先設(shè)計的更有創(chuàng)造性，更能充分體驗到數(shù)學(xué)活動充滿探索以及發(fā)現(xiàn)之后的快感和樂趣。
2、體驗學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣
蘇霍姆林斯基說得好：“教師如果不想方設(shè)法使學(xué)生產(chǎn)生情緒高昂和智力振奮的內(nèi)心狀態(tài)，而且是不動情感的腦力勞動，就會帶來疲倦，處于疲倦狀態(tài)下的頭腦，是很難有效地吸收知識的�！北景咐龔拈_頭用數(shù)格子的辦法探究勾股定理，再利用學(xué)生自己通過拼圖發(fā)現(xiàn)驗證勾股定理，處處體現(xiàn)數(shù)學(xué)之美，每時每刻將學(xué)生吸引在課堂探究之中，心情激奮，興趣濃厚。
3、學(xué)習(xí)主動權(quán)還給學(xué)生
以往的學(xué)生常常是一種被動接受式學(xué)習(xí)方式，學(xué)生很少能通過自己的探索來獲取知識；學(xué)生很少有根據(jù)自己的見解發(fā)表看法與意見的機會。課堂的一切被老師占有，成了教學(xué)活動的控制者。而本案例給學(xué)生提供了自主探索、合作學(xué)習(xí)的機會，把課堂還給了學(xué)生，教師只是學(xué)生學(xué)習(xí)情境的創(chuàng)設(shè)者、組織者和學(xué)生學(xué)習(xí)活動的促進者、合作者，關(guān)注的是在課堂上學(xué)生做了些什么，說了些什么，想了些什么，學(xué)會了什么和感受了什么，使學(xué)生真正成為課堂活動的主人
4、對教師教學(xué)能力的挑戰(zhàn)
在生成性的課堂中，學(xué)生不少的創(chuàng)新思維常常使教師意想不到，雖然這些竟想不到的問題，有時不一定是最優(yōu)的，但對學(xué)生而言往往是最有效的，最具有針對性的，而對教師而言，要圓滿解答好這些問題，對教師的教學(xué)能力和教學(xué)機智是一次很好的挑戰(zhàn)，促使教師努力鉆研業(yè)務(wù)，在素質(zhì)提升工程中刻苦學(xué)習(xí)。
5、改變教師的教學(xué)方式
在傳統(tǒng)的教學(xué)論中，“課程”被理解為規(guī)范性的教學(xué)內(nèi)容，具有專制性，是在教學(xué)過程之前教學(xué)情境之外預(yù)先規(guī)定的，教學(xué)過程就是忠實而有效的傳遞過程。在這種背景下，教師只要把功夫花在課前，課堂上一般很省心，不會出現(xiàn)什么閃失，很多教師怕學(xué)生的提問打亂了自己的教學(xué)方寸，耽誤了教學(xué)進程，總是盡可能將學(xué)生的思維壓制在預(yù)先設(shè)計好的框架內(nèi)，追求一種表面的默契，特別是一些公開課上，即使是教師有時問一問學(xué)生：還有別的想法和意見嗎？也基本上是一種點綴性的設(shè)問，其實內(nèi)心卻是不情愿出現(xiàn)什么意外，殊不知，這種一味保全教學(xué)環(huán)節(jié)完整的做法，喪失的卻是師生的生命力，主體性的發(fā)揮，如果深層次地想一想，我們在課堂上究竟是立足于教會學(xué)生什么，還是立足于學(xué)生會學(xué)？本案例只要有心人去細(xì)心領(lǐng)會，就明白了在新課程理念如何改變教師的教學(xué)方式，把握好教師的教與學(xué)生的學(xué)。
2006年3月
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