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數(shù)學(xué)中的游戲因素及其對于數(shù)學(xué)的影響
關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué) 游戲 數(shù)學(xué)發(fā)展 數(shù)學(xué)教育摘要：游戲與數(shù)學(xué)作為兩項(xiàng)人類活動(dòng)具有許多共同的特點(diǎn)，這種共性主要體現(xiàn)在它們的性質(zhì)、結(jié)構(gòu)以及實(shí)踐等三個(gè)方面。數(shù)學(xué)與游戲之間的關(guān)系是相互滲透、相互統(tǒng)一的關(guān)系。游戲的精神一直伴隨著數(shù)學(xué)的成長和發(fā)展，成為數(shù)學(xué)發(fā)展的主要?jiǎng)恿χ唬徊囊韵聨讉�(gè)方面影響了數(shù)學(xué)的發(fā)展：游戲激發(fā)了許多重要數(shù)學(xué)思想的產(chǎn)生，游戲促進(jìn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的傳播，游戲是數(shù)學(xué)人才發(fā)現(xiàn)的有效途徑。此外，游戲還在數(shù)學(xué)教育中起著非常重要的作用。
一．?dāng)?shù)學(xué)與游戲的關(guān)系
一般認(rèn)為，游戲是一個(gè)廣泛的概念，它包括任何一種旨在消遣時(shí)光或?qū)で髪蕵返幕顒?dòng)。而數(shù)學(xué)則是帶有藝術(shù)風(fēng)度的智力工作，同時(shí)是具有巨大的實(shí)用價(jià)值的科學(xué)。數(shù)學(xué)總是和邏輯在一起，數(shù)學(xué)家在從事研究時(shí)一般不是戲謔的，因?yàn)閲?yán)謹(jǐn)和認(rèn)真是人們對數(shù)學(xué)的一種追求，游戲?qū)τ跀?shù)學(xué)的作用至多起激發(fā)興趣和調(diào)節(jié)情緒的作用。然而，事實(shí)上情況并非那么簡單�？疾煲幌聰�(shù)學(xué)與游戲的關(guān)系，我們發(fā)現(xiàn)游戲與數(shù)學(xué)的關(guān)系非常密切。無論從數(shù)學(xué)知識(shí)的本身，還是數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程，如從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的人們的動(dòng)機(jī)、方法等方面都可發(fā)現(xiàn)游戲的因素。
首先，就數(shù)學(xué)知識(shí)本身來說，在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)領(lǐng)域和現(xiàn)代數(shù)學(xué)領(lǐng)域中都可發(fā)現(xiàn)大量賞心悅目的具有游戲性質(zhì)的內(nèi)容和問題。在算術(shù)中，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對于完全數(shù)和親和數(shù)等數(shù)字的奇特性的研究，以及用石塊的游戲列出的有趣定理都具有游戲的性質(zhì)。在代數(shù)中，三次方程早已出現(xiàn)在公元前1900----1600年巴比倫的泥板書中，當(dāng)時(shí)并沒有實(shí)際的問題導(dǎo)致三次方程，顯然巴比倫人把這個(gè)問題當(dāng)作消遣。公元前3世紀(jì)阿基米德提出“群牛問題”導(dǎo)致包含8個(gè)未知數(shù)的代數(shù)不定方程組。5—6世紀(jì)《張丘建算經(jīng)》中記載的“百雞問題”導(dǎo)致3元不定方程組。幾何學(xué)中的游戲趣題更是花樣繁多，如由勾股定理所編制的大量趣題、古希臘人研究的角的三等分、倍立方體和化圓為方三大幾何作圖問題以及對割圓曲線等奇異曲線的研究、用相同形狀的圖形鋪滿整個(gè)平面的問題，等等。許多深?yuàn)W的、嚴(yán)肅的數(shù)學(xué)也帶有游戲的情趣。例如，從16世紀(jì)以來，在微積分中人們對大量種類的奇形怪狀的曲線的研究顯然帶有娛樂的性質(zhì)。最早純粹關(guān)于消遣性數(shù)學(xué)問題的書籍出現(xiàn)于17世紀(jì)，其后200年中，數(shù)學(xué)中的游戲及迷題的種類和數(shù)量大增。在此時(shí)期人們的興趣大都集中在數(shù)字的奇特性、單純的幾何迷題、算術(shù)故事問題、魔（術(shù)）方（塊）、賭博等游戲。到了19世紀(jì)，人們的興趣開始轉(zhuǎn)向一些現(xiàn)代數(shù)學(xué)領(lǐng)域，如拓?fù)鋵W(xué)、組合幾何、圖論、邏輯學(xué)、概率論等，其中研究對象性質(zhì)的奇特性、推理方法的迷惑性、以及各種組合問題和幾何圖形操作的靈活多變性等都是給人以樂趣的、帶有游戲色彩的問題。
其次，數(shù)學(xué)作為一項(xiàng)人類活動(dòng)，自古以來一直是一個(gè)享有特權(quán)的人類智力活動(dòng)領(lǐng)域，被看成是人類智力的象征。它能使參與者產(chǎn)生情感方面的體驗(yàn)，給人樂趣。因此，許多人不單是因?yàn)閿?shù)學(xué)有用而研究數(shù)學(xué)，他們的出發(fā)點(diǎn)則是把數(shù)學(xué)作為一種自娛自樂的游戲，一種高級(jí)的心理追求和精神享受。許多數(shù)學(xué)思想是人們鍥而不舍地思索一個(gè)令人迷惑的概念或問題的結(jié)果。有些人可以就一些問題和趣題連續(xù)工作幾個(gè)小時(shí)，甚至花費(fèi)幾天、幾年的時(shí)間去探討那起初從表面上看來不過是消遣的東西，直至細(xì)枝末節(jié)，以求得徹底解決。例如，幾何學(xué)起源于實(shí)際的需要，然而幾何學(xué)的繁榮發(fā)展卻開始于古希臘。盡管希臘人把幾何看作與對于世界本質(zhì)的思索一樣嚴(yán)肅的事，但實(shí)際上希臘人卻把幾何當(dāng)作智力游戲?qū)Υ�，他們的大部分工作本質(zhì)上都具有游戲的性質(zhì)──遠(yuǎn)離功利，滿足好奇心和求知欲，有閑人的消遣，比如他們把大部分的精力都集中在許多單純的幾何迷題上�？梢哉f數(shù)學(xué)只是希臘人的一個(gè)高級(jí)玩具，而并非一個(gè)有用的工具。
數(shù)學(xué)即游戲的觀念在19世紀(jì)數(shù)學(xué)變?yōu)橐环N職業(yè)以后仍然在發(fā)揮作用，實(shí)際上這種觀念一直持續(xù)到現(xiàn)代。在此，引用愛因斯坦于1918年4月所講的一段意味深長的話：“許多人愛好科學(xué)，是因?yàn)榭茖W(xué)給了他們異呼尋常的智力上的快感，對于這些人科學(xué)是一種特殊的娛樂；還有許多人之所以把他們的智力奉獻(xiàn)給科學(xué)祭壇，為的是純粹的功利。如果把這兩類人都趕出神圣的殿堂，那么，這里的人就會(huì)大為減少…”愛因斯坦的這段描述在科學(xué)殿堂活躍的人們的話同樣也適用于數(shù)學(xué)。著名數(shù)學(xué)家哈代曾說：激勵(lì)數(shù)學(xué)家做研究的主要?jiǎng)恿κ侵橇ι系暮闷嫘�，是謎團(tuán)吸引力，正如希爾伯特所說：“問題就在那里，你必須解決它”。正是這種永不滿足的激情吸引了大批的人獻(xiàn)身于數(shù)學(xué)，從而導(dǎo)致了大量問題離奇地綻開數(shù)學(xué)的嫩牙�？梢哉f數(shù)學(xué)在其成長和發(fā)展中一直伴隨著游戲的精神。
這種數(shù)學(xué)即游戲觀念并非出于偶然，從本質(zhì)上作一番考察，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)與游戲具有許多共同的特點(diǎn)，它們的關(guān)系是相互滲透、相互統(tǒng)一的關(guān)系，這種統(tǒng)一主要體現(xiàn)在活動(dòng)的性質(zhì)、結(jié)構(gòu)的形式以及實(shí)踐三個(gè)方面。
首先，數(shù)學(xué)與游戲作為兩項(xiàng)人類活動(dòng)具有許多共同的性質(zhì)特征。有些社會(huì)學(xué)家曾經(jīng)對游戲進(jìn)行了深入的分析，以下性質(zhì)是游戲的基本特征[1]：
1．游戲是一種“自由活動(dòng)”，“自由”在希臘語中的意思是“無報(bào)酬的”，即活動(dòng)本身是為了鍛練，而不是為了從中獲取利益。
2．游戲在人類的發(fā)展中起著“一定的作用”。幼兒從游戲中豐富情感、獲得知識(shí)、發(fā)展智力和能力，從而為將來的競爭和生活作準(zhǔn)備。成年人玩游戲則是為了體驗(yàn)解放、回避和放松、滿足好奇心等感覺。
3．游戲不是玩笑，作游戲必須相當(dāng)認(rèn)真。不認(rèn)真對待的人是在糟蹋游戲。
4．游戲就象藝術(shù)工作一樣，在深思熟慮、實(shí)施以及取得成功的過程中能夠得到巨大的樂趣。
5．通過游戲規(guī)則可以創(chuàng)造一種新秩序和充滿和諧韻律的世界。
6．游戲有自己獨(dú)立的時(shí)間和空間�！�
顯然，數(shù)學(xué)作為一項(xiàng)人類的活動(dòng)也具有以上所有的特點(diǎn)，從這一點(diǎn)來講，數(shù)學(xué)的確是一種游戲。
其次，數(shù)學(xué)與游戲的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)也有共同的形式。數(shù)學(xué)具有演繹體系或稱為公理化系統(tǒng)，這種系統(tǒng)由不加定義的概念（原始概念），不加證明的命題（公理）組成。其中原始概念的含義由公理體現(xiàn)出來。任何游戲在一開始都是介紹一些對象或部件，一系列的規(guī)則，這些對象或部件的作用由那些規(guī)則所決定。兩者的相似是顯然的，它們的差異只是叫法不同而已，數(shù)學(xué)中的不加定義的概念對應(yīng)著游戲中的對象或部件，公理對應(yīng)著游戲的規(guī)則，數(shù)學(xué)中的定理則對應(yīng)著游戲過程中的每一狀態(tài)。兩個(gè)系統(tǒng)中都有“定義”，也都有“證明”。例如，以下“字母游戲”的系統(tǒng)可以用數(shù)學(xué)的語言描述[4]：
不加定義的概念：字母M，I和U。
定義：x指任何由若干I和若干個(gè)U組成的字母串。
公理：
1）如果字母串的最后一個(gè)字母是I，則可在最后加上字母U。
2）如果已有Mx，則可以加上x變?yōu)镸xx，此稱為加倍法則。
3）如果在字母串中出現(xiàn)三個(gè)I相連的情況，即III可用一個(gè)U來代替
4)如果UU出現(xiàn)，則一局結(jié)束。
定理：“由MI，必然導(dǎo)出MUIU”
證明：MI→（公理2）MII→（公理2）MIIII→（公理1）MIIIIU→（公理3）MUIU
正是由于數(shù)學(xué)與游戲的形式結(jié)構(gòu)的相似，20世紀(jì)初數(shù)學(xué)哲學(xué)中形式主義學(xué)派的代表人物希爾伯特(D．Hilbert)有一個(gè)極端的觀點(diǎn)：“數(shù)學(xué)是根據(jù)某些簡單規(guī)則使用毫無意義的符號(hào)在紙上進(jìn)行的游戲。”
第三，數(shù)學(xué)與游戲的實(shí)踐也有共同的特征。任何人在開始做游戲時(shí)，都必須對它的規(guī)則有一定的了解，將各部件的相互聯(lián)系弄清楚，就象數(shù)學(xué)的初學(xué)者那樣，用同樣的方法比較并建立該理論中的基本元素之間的相互作用，這些就是游戲和數(shù)學(xué)理論的基本練習(xí)。無論在數(shù)學(xué)中還是在游戲中，較深層次的、更復(fù)雜的步驟和策略的運(yùn)用都需要特殊的洞察力。
在玩高級(jí)游戲的過程中，總是有問題出現(xiàn)，人門總想要在從未探索過的游戲情境中用首創(chuàng)的方法來解決，這對應(yīng)于數(shù)學(xué)理論中未解決的問題的研究。在創(chuàng)造新游戲的過程中，需要設(shè)計(jì)情境，給出新穎的策略和創(chuàng)造性的游戲方式。將其與創(chuàng)立新的數(shù)學(xué)理論相類比的話，就相當(dāng)于提出新穎的思想和方法，并將之應(yīng)用于其它未解決的問題，從而更深刻地揭示現(xiàn)實(shí)生活中某些至今尚不明了的真理。
因此，從廣義上來講，可以說數(shù)學(xué)是一種游戲，只不過這種游戲要涉及到科學(xué)、哲學(xué)、藝術(shù)等更廣泛的人類文化范圍。從狹義上說，數(shù)學(xué)中的游戲是指那些具有娛樂和消遣性質(zhì)的并帶有數(shù)學(xué)因素的游戲和智力難題。正是由于數(shù)學(xué)與游戲之間的共性，許多問題和內(nèi)容很難說是應(yīng)歸于純數(shù)學(xué)研究還是歸于有趣的智力游戲；更難于區(qū)分人們對于數(shù)學(xué)的興趣是由于數(shù)學(xué)中的游戲因素，還是由于數(shù)學(xué)的其他因素�？傊�，數(shù)學(xué)中有游戲的精神，游戲中有數(shù)學(xué)的思想，要想在兩者之間畫出一道嚴(yán)格分明的界限是不可能的。
二．游戲?qū)?shù)學(xué)發(fā)展的影響
既然數(shù)學(xué)與游戲是如此緊密的聯(lián)系在一起，因此在某種程度上可以說，游戲精神是數(shù)學(xué)發(fā)展的主要?jiǎng)恿χ�。人們從事�?shù)學(xué)活動(dòng)，就是在進(jìn)行某種趣味四溢的游戲，數(shù)學(xué)中的游戲因素給數(shù)學(xué)帶來了無窮的魅力，從而吸引了一代又一代人的目光，大大加速了數(shù)學(xué)的發(fā)展。因而，不論是數(shù)學(xué)家還是一般的游戲者都促進(jìn)了數(shù)學(xué)事業(yè)的發(fā)展。此外，游戲?qū)?shù)學(xué)的發(fā)展還表現(xiàn)在另外三個(gè)方面：游戲激發(fā)了許多重要數(shù)學(xué)思想的產(chǎn)生，游戲促進(jìn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的傳播，游戲是數(shù)學(xué)人才發(fā)現(xiàn)的有效途徑。
1．游戲激發(fā)了許多重要數(shù)學(xué)思想的產(chǎn)生。
數(shù)學(xué)史上經(jīng)常出現(xiàn)這種情況，許多數(shù)學(xué)思想起源于對于一些令人迷惑不解的問題的鍥而不舍地探索，這些問題往往從表面上看來不過是供人消遣的游戲而已，甚至看來與數(shù)學(xué)的情境毫無關(guān)系，然而最后問題的解決卻產(chǎn)生令人意想不到的新的數(shù)學(xué)思想。例如，自古以來，悖論出現(xiàn)在廣泛的學(xué)科范圍，包括文學(xué)、科學(xué)、數(shù)學(xué)。不管什么類型的悖論，其中的創(chuàng)造性和令人困惑的推理都充滿了趣味和給人異乎尋常的智力上的快感。特別地，數(shù)學(xué)的悖論不僅可以供人娛樂，而且還是很好的智力練習(xí)和發(fā)現(xiàn)的樂土，許多數(shù)學(xué)學(xué)科的完善都與悖論有關(guān)，如實(shí)數(shù)理論、微積分、集合論等�？梢哉f數(shù)學(xué)中幾乎每一門學(xué)科都或多或少受到游戲精神的激發(fā)而得到發(fā)展。最典型的例⑹歉怕事�、图论和组乎r?Ы?ⅰ?
概率論直接起源于一個(gè)關(guān)于賭博的游戲。17世紀(jì)，法國的一個(gè)名為德．梅勒的職業(yè)賭徒針對賭博中常常遇到“怎樣合理分配賭注”問題，向著名數(shù)學(xué)家帕斯卡請教，這個(gè)問題常常稱為“點(diǎn)子問題”，即兩個(gè)賭徒中誰先積滿一定數(shù)目的點(diǎn)誰就贏得一局；如果在一局結(jié)束以前離開賭場，他們應(yīng)該如何分配賭注？帕斯卡和費(fèi)馬在通信中各自解決了這個(gè)問題。對于這個(gè)問題的解決和研究標(biāo)志著不同于以往確定性數(shù)學(xué)的一種嶄新的數(shù)學(xué)方法—概率論的誕生，它把純粹偶然事件的表面上的無規(guī)律性置于規(guī)律、秩序和規(guī)則之下，從而成為人類的根本知識(shí)之一，并具有廣泛應(yīng)用價(jià)值。正如拉普拉斯所說：“這門起源于靠運(yùn)氣取勝的游戲的科學(xué)，竟然成了人類知識(shí)的最重要的一部分”
圖論也是一門起源于游戲的學(xué)科，它起源于歐拉關(guān)于哥尼斯堡七橋問題的研究。哥尼斯堡是東普魯士首府，普萊格爾河橫貫其中，上有七座橋?qū)⒑又械膬蓚�(gè)島和河岸連接，一個(gè)散步者怎樣才能走遍七座橋而每座橋只經(jīng)過一次？當(dāng)時(shí)大多數(shù)人都把這當(dāng)作有趣的娛樂，但是歐拉發(fā)現(xiàn)這個(gè)問題可以導(dǎo)向一個(gè)另外的契機(jī)，他抓住了這個(gè)契機(jī)并加以發(fā)展。1735年，歐拉向圣彼得堡科學(xué)院提交了一篇論文，歐拉把這個(gè)問題的物理背景變換并簡化為一種數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)（稱作圖或網(wǎng)絡(luò)）：即把每一塊陸地用一個(gè)點(diǎn)來代替，將每一座橋用連接相應(yīng)的兩個(gè)點(diǎn)的一條線來代替，從而相當(dāng)于得到一個(gè)圖。歐拉證明了這個(gè)問題沒有解。歐拉指出歐幾里得幾何并不適用于這個(gè)問題，因?yàn)闃虿簧婕啊按笮 �，也不能用“量化�?jì)算”來解決。相反地，這問題屬于“位置幾何”（萊布尼茨描述拓?fù)鋵W(xué)時(shí)首先使用的名稱）。所以，哥尼斯堡七橋問題的解決遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了它的娛樂價(jià)值，由此提出的新思想則開辟了數(shù)學(xué)的一個(gè)新的領(lǐng)域—圖論。當(dāng)然游戲娛樂對于圖論的作用并沒有到此為止，此后許多著名的數(shù)學(xué)游戲成為圖論和拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展的催化劑和導(dǎo)引，如哈密爾頓問題（繞行世界問題）、四色猜想等。
另一個(gè)與游戲密切相關(guān)的學(xué)科是組合數(shù)學(xué)。組合數(shù)學(xué)是研究任意一組離散性事物按照一定規(guī)則安排或配置方法的數(shù)學(xué)。二十世紀(jì)以前，人們主要從游戲的角度來研究組合數(shù)學(xué)，例如中國的魔方、縱橫圖、巴歇砝碼問題、柯可曼女生問題、歐拉36名軍官問題等等。這些問題推動(dòng)人們?nèi)ニ伎迹鼈兊慕獯鹨渤３Ｊ菣C(jī)智和精巧的。在這個(gè)過程中，人們得到了組合數(shù)學(xué)中一般的存在性定理和計(jì)數(shù)原理，如抽屜原理、母函數(shù)方法、遞歸關(guān)系解法、容斥原理等。
事實(shí)上，數(shù)學(xué)學(xué)科中一些最偉大的成就，象射影幾何、數(shù)論、拓?fù)鋵W(xué)、對策論等無不受到游戲精神的影響。總之，由游戲的精神激發(fā)出來的數(shù)學(xué)對象是無止境的。當(dāng)人們以自愿而嬉笑的心境，而不是以正式的科學(xué)常有的嚴(yán)肅認(rèn)真的背景來看待一門學(xué)科時(shí)，這種精神就能使科學(xué)有效地取得進(jìn)展。這是因?yàn)樵诮鉀Q和創(chuàng)造智力題或游戲的過程中，人們可以不受傳統(tǒng)理論概念或方法論的束縛，完全自由地顯示他的想象力和發(fā)揮他的創(chuàng)造力。正因?yàn)槿绱耍螒虺蔀閲?yán)肅數(shù)學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，有時(shí)成為某些學(xué)科產(chǎn)生和發(fā)展的催化劑。
2．游戲?qū)τ跀?shù)學(xué)的另一作用是促進(jìn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的傳播。
游戲之所以具有難以抗拒的魅力的一個(gè)很重要的原因是游戲所涉及的問題和內(nèi)容有趣迷人、淺顯易懂。另外又不需要過多的預(yù)備知識(shí)，只要掌握一般的基本知識(shí)，初學(xué)者即可登堂入室，理解某一門學(xué)科的許多的重要內(nèi)容。正象讀過幾部偵探小說的人會(huì)情不自禁地覺得自己已有了足夠的本領(lǐng)，可以幫助警方破案一樣。因此數(shù)學(xué)游戲常被用來作為嚴(yán)肅數(shù)學(xué)的一種表現(xiàn)方式，使之更易理解和更具趣味。游戲在數(shù)學(xué)普及和傳播中的有效性一直伴隨數(shù)學(xué)的成長和發(fā)展過程中。在人們津津樂道、相互傳誦游戲的過程中，也將有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想傳送給四面八方的人。下面是歷史上這一傾向的幾個(gè)典型例子
成書于公元前1700年的古埃及的阿默士紙草書（也稱Rhind紙草書）是為當(dāng)時(shí)的貴族和祭祀
階層所作的數(shù)學(xué)普及性的一個(gè)問題集（有人說是教科書），其中有些問題是以有趣的歌謠或故事的形式編寫而成。因此流傳很廣，如第79 題關(guān)于幾何級(jí)數(shù)的加法問題又演變成“我去圣地愛弗斯”等歌謠流傳于歐洲幾個(gè)國家。
歐幾里得也在已經(jīng)失傳的一本名為《糾錯(cuò)集》（Pseudaria）的書中使用了一組有趣的謬論，作為激勵(lì)他的學(xué)生進(jìn)入正確思維過程的手段。阿基米德在他的《數(shù)沙粒者》一書開始就說：“過去有個(gè)叫吉倫（Gelon）的國王，他認(rèn)為沙粒的數(shù)量是無限的……”，這種以游戲的方式來處理數(shù)學(xué)的情境的目的就是使他的思想更為人們所理解和接受。
中世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契（J. Fibonacci）的《算盤書》是一本廣泛流傳于歐洲各國的著作，這本書流傳的原因除了它的內(nèi)容實(shí)用之外，還因?yàn)榘褦?shù)學(xué)內(nèi)容寓于生動(dòng)有趣的游戲之中，如“兔子繁殖問題”、“蓄水池問題”、“野兔和獵狗”、“七個(gè)老婦”等幾乎成為家喻戶曉、人人皆知的數(shù)學(xué)游戲。此書喚起了歐洲人對于數(shù)學(xué)的興趣和重視，為以后歐洲數(shù)學(xué)的復(fù)興奠定了基礎(chǔ)。
在世界各地都曾經(jīng)流傳一些著名的數(shù)學(xué)游戲，如古代中國的韓信點(diǎn)兵、百雞問題、七巧板、大衍求一術(shù)（該問題被多種數(shù)學(xué)著作改頭換面地采用）。古印度的蓮花問題、蜜蜂問題……
從19世紀(jì)末期開始，由于人們意識(shí)到游戲在數(shù)學(xué)知識(shí)的普及與傳播中的獨(dú)特的作用，關(guān)于數(shù)學(xué)游戲的收集、編造以及解答等方面的研究受到空前地重視，在眾多的研究者中，影響最大的是美國科普作家馬丁．加德納(M. Gardner)的工作，他曾在美國的著名科普雜志《科學(xué)美國人》（Scientific Americian）上主持“數(shù)學(xué)游戲”專欄。他工作的特點(diǎn)是把許多數(shù)學(xué)思想或知識(shí)寓于各種奇妙有趣的故事和問題之中。這些題目初看似乎很難，有時(shí)冥思苦索，百思不得其解，但如果放開思路，打破框框，從各種角度去考慮，也許很快就會(huì)有所突破，具有“啊呵！靈機(jī)一動(dòng)”的特點(diǎn)。這些妙趣橫生的作品使數(shù)以百萬計(jì)的人陶醉于數(shù)學(xué)樂園之中。以后這些趣題被匯集成冊以各種文字出版多次，其影響廣泛而又持久。最近，英國數(shù)學(xué)家康韋（J．Ｈ．Conway）等人在所作的《數(shù)學(xué)游戲獲勝的方法》一書中說：“馬丁．加德納比任何人將更多的數(shù)學(xué)帶給了千百萬人。”這句話在肯定了馬�。拥录{的貢獻(xiàn)的同時(shí)，也道破了游戲?qū)τ跀?shù)學(xué)傳播的有效性。
3．游戲也常常成為數(shù)學(xué)人才發(fā)現(xiàn)的有效途徑，從而成為他們進(jìn)入數(shù)學(xué)研究的踏腳石。
歷史上許多數(shù)學(xué)家是由于解決了某個(gè)游戲難題而發(fā)現(xiàn)自己具有數(shù)學(xué)潛能，從此放棄其他選擇而獻(xiàn)身數(shù)學(xué)。
高斯在數(shù)學(xué)史上是與阿基米德、牛頓等人并列的數(shù)學(xué)家，有“數(shù)學(xué)王子”之稱， 他填補(bǔ)了古典數(shù)學(xué)家遺留的許多空白，而又為現(xiàn)代數(shù)學(xué)開辟了許多意義深遠(yuǎn)的新道路。高斯成為數(shù)學(xué)告別過去走向現(xiàn)代的一個(gè)象征。這樣一位大數(shù)學(xué)家以數(shù)學(xué)為職業(yè)卻是由于在他19歲那年解決了一個(gè)長期困擾數(shù)學(xué)界的、帶有游戲色彩的幾何作圖難題——用尺規(guī)作出了一個(gè)正十七邊形，這一成功使他對自己的數(shù)學(xué)才能有更加明確的認(rèn)識(shí)，于是，他毅然放棄自己所喜愛的語言學(xué)而投身于數(shù)學(xué)。
著名的法國概率學(xué)家西米爾．泊松(S. D. Poisson)年青時(shí)曾經(jīng)為找到一個(gè)適合自己的職業(yè)而大傷腦筋，他的父親要他學(xué)醫(yī)或法律，但他缺少這方面的欲望。正在苦苦尋覓之時(shí)，一道趣題使他意識(shí)到自己的習(xí)性和興趣傾向于數(shù)學(xué)方面。以此為開端，他開始了數(shù)學(xué)研究生涯。一道游戲趣題而成為他一生的轉(zhuǎn)折點(diǎn)[7]。
一般來說，許多具有數(shù)學(xué)潛能的人往往從小表現(xiàn)出對游戲的迷戀和酷愛，以及在解決方法上的靈活和機(jī)智。所以游戲往往成為檢測一個(gè)人的數(shù)學(xué)和推理能力的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。如果說上述例子還不足以說明這一點(diǎn)的話，還可以舉出許多涉足過游戲的數(shù)學(xué)家名字：對賭博癡迷終生的意大利數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾；由魔術(shù)師成為20世紀(jì)有影響力的美國數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)家戴康尼斯（Persi Diaconis）；從小就以玩游戲出名的英國數(shù)學(xué)家康韋（J .H. Conway）、此外還有萊布尼茨、伯努利、哈密爾頓、馮-諾伊曼、游戲成為自我檢測數(shù)學(xué)才能的試金石�，F(xiàn)在各種數(shù)學(xué)競賽中包含許多數(shù)學(xué)游戲，這種做法實(shí)際上也是基于“游戲可用于選拔數(shù)學(xué)人才”的理念。
三．游戲在數(shù)學(xué)教育中的作用
古往今來的數(shù)學(xué)教育的理論和實(shí)踐都已證明游戲?qū)τ跀?shù)學(xué)教育具有極大的價(jià)值。對此，馬�。拥录{曾經(jīng)作了相當(dāng)正確的評(píng)價(jià)“喚醒學(xué)生的最好的辦法是向他們提供有吸引力的數(shù)學(xué)游戲、智力題、魔術(shù)、笑話、悖論、打油詩或那些呆板的教師認(rèn)為無意義而避開的其他東西�！本唧w說來，游戲在數(shù)學(xué)教育中的有效性主要表現(xiàn)在以下三個(gè)方面：
首先，游戲是數(shù)學(xué)內(nèi)容獲得的有效方法之一。因?yàn)橛螒驗(yàn)椴煌挲g層次的人提供了這樣的機(jī)會(huì)——通過具體的經(jīng)驗(yàn)去為今后所必須學(xué)習(xí)的內(nèi)容作準(zhǔn)備。例如折紙的游戲，折紙的對象是一個(gè)正方形的紙張，留在正方形的紙張上的折痕揭示出大量幾何的對象和性質(zhì)：相似、軸對稱、心對稱、全等、相似形、比例、以及類似于幾何分形結(jié)構(gòu)的迭代。折紙的過程也極具啟發(fā)性：開始用一個(gè)正方形（二維物體）的紙張來折一個(gè)立體（三維物體）．如果折出了新的東西,那么折紙的人就把這個(gè)立體攤開并研究留在正方形紙上的折痕。這個(gè)過程包含了維數(shù)的變動(dòng)。一個(gè)二維物體到三維物體，又回到二維，這就跟投影幾何的領(lǐng)域發(fā)生了關(guān)系[3]。
其次，游戲與數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的相似性保證了游戲有利于數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，從而使學(xué)生更深刻地理解數(shù)學(xué)的精神。例如，計(jì)算機(jī)游戲可以發(fā)展幾何的空間感覺和意識(shí)；某些棋類或字母游戲提供了公理系統(tǒng)的體驗(yàn)，從而使游戲成為學(xué)生從具體過度到抽象數(shù)學(xué)證明的橋梁。通過游戲也會(huì)使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的另一種精神：數(shù)學(xué)不是一門一成不變的課程，數(shù)學(xué)知識(shí)也不是絕對的真理，“數(shù)學(xué)是人類心靈的自由創(chuàng)造�！被蛘哒f數(shù)學(xué)思想是人的想象力的虛構(gòu)物和創(chuàng)造物。數(shù)學(xué)世界獨(dú)立于我們的現(xiàn)實(shí)世界，盡管它和現(xiàn)實(shí)世界以不可思議的對應(yīng)聯(lián)系起來，并成為人類認(rèn)識(shí)自然界和認(rèn)識(shí)人類社會(huì)自身的有效工具。這正是數(shù)學(xué)的奇妙所在。
最后，游戲可以培養(yǎng)正確的數(shù)學(xué)態(tài)度。這一點(diǎn)主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面。一方面，游戲是培養(yǎng)好奇心的有效方法之一，這是由游戲的性質(zhì)決定的——趣味⑶�、玲撜b朔�、具有挑战芯壢。簮炴袚现�?剿魘??窒蟮陌旅靨峁┝飼看蟮畝?�。染J???揮卸雜謖餉叛Э頻那苛倚巳ず吞剿魑粗?侍獾暮悶嫘模?敲詞?а?敖?且幌羆榪嘍?郝?墓ぷ鰲Ｐ磯嗍?Ъ銥?級(jí)閱騁晃侍庾餮芯渴保?艽?龐胄『⒆油嫘巒婢咭謊?男酥?jǐn)n?仁譴?瀉悶嫻木?齲?諫衩乇喚銥?笥鐘蟹⑾值南蒼謾?
另一方面，游戲還可以培養(yǎng)培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成樂意吸取不同的思路、勇于創(chuàng)造的研究態(tài)度。許多研究人員都為游戲和不同思路之間的關(guān)系之密切提供了大量的事例[3]。例如，一個(gè)小女孩玩積木時(shí)，可能會(huì)嘗試著用不同的組合方法來觀察把一塊積木放在另一塊上面時(shí)，擺多少塊可以不到下來。她邊玩邊對自己的設(shè)想進(jìn)行判斷，充分發(fā)揮了她的主動(dòng)性和創(chuàng)造性。并且，她還可以用從游戲中所獲得的思路和方法去解決其他的問題。在游戲時(shí)所用的不同思路就是在為某種任務(wù)或問題尋找解決方案，因此，可以說游戲是研究的最高形式。愛因斯坦在1954年說過的一句話就指出了這一點(diǎn)[3]：“要獲得最終的或邏輯的概念的愿望，也就是玩一場結(jié)果不明的游戲的感情基礎(chǔ)�！@種組合游戲看來就是創(chuàng)造性思維的重要表現(xiàn)形式。”
對于數(shù)學(xué)教育來說，游戲的方法并不能代替一切，但如果在正規(guī)嚴(yán)肅的教學(xué)方法之外多為學(xué)生提供機(jī)會(huì)參加一些游戲，或至少提供一本好的數(shù)學(xué)游戲選集，即在教學(xué)中摻入游戲的精神，那么數(shù)學(xué)教育將會(huì)起到事半功倍的效果。游戲可以使任何水平的學(xué)生都從自己的最佳觀測點(diǎn)面對每一個(gè)題材。學(xué)生除了學(xué)到數(shù)學(xué)的內(nèi)容，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的思維方式，還可以培養(yǎng)正確的學(xué)習(xí)態(tài)度：不同的思路、創(chuàng)造、動(dòng)力、興趣、熱情、喜悅……�？傊�，游戲?qū)?shù)學(xué)的教育價(jià)值和重要意義是不容忽視的。
四．結(jié)語
綜上所述我們看到，游戲?qū)τ跀?shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了重要影響，并在數(shù)學(xué)教育中起著重要的作用。所以，從理論上探討數(shù)學(xué)與游戲的關(guān)系對數(shù)學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展乃至當(dāng)今數(shù)學(xué)教育研究都具有深刻的啟迪作用和借鑒價(jià)值。當(dāng)然應(yīng)當(dāng)指出，游戲本身并不是數(shù)學(xué)的終點(diǎn)，它不能完全取代對所有數(shù)學(xué)活動(dòng)的分析，數(shù)學(xué)是一種多邊的人類活動(dòng)，數(shù)學(xué)中的游戲娛樂、美學(xué)欣賞、哲學(xué)思考、實(shí)用價(jià)值探索等因素是如此緊密地交織在一起，只要拆散和剔除任何一個(gè)可能不合我們個(gè)人愛好的方面，都將給數(shù)學(xué)帶不可估量的損失。只有認(rèn)真研究和總結(jié)數(shù)學(xué)發(fā)展中的各種因素，才能客觀地、全面地認(rèn)識(shí)和評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)，從而促進(jìn)數(shù)學(xué)事業(yè)的研究和發(fā)展。
本文中所論述的是數(shù)學(xué)與游戲的關(guān)系中的一個(gè)方面，即數(shù)學(xué)中的游戲因素及其對數(shù)學(xué)發(fā)展的影響。還有許多方面有待于去探索和總結(jié)，例如數(shù)學(xué)對于游戲的影響、計(jì)算機(jī)進(jìn)入游戲王國及其對于數(shù)學(xué)的影響，怎樣把游戲的方法引入數(shù)學(xué)教育中，……等等，都是有待于進(jìn)一步探討的問題。
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