不等式的證明（三）

第四課時(shí)

教學(xué)目標(biāo)

　　1．掌握分析法證明不等式；

　　2．理解分析法實(shí)質(zhì)——執(zhí)果索因；

　　3．提高證明不等式證法靈活性.

教學(xué)重點(diǎn)  分析法

教學(xué)難點(diǎn)  分析法實(shí)質(zhì)的理解

教學(xué)方法  啟發(fā)引導(dǎo)式

教學(xué)活動(dòng)

　�。ㄒ唬�導(dǎo)入新課

　�。ń處熁顒�(dòng)）教師提出問題，待學(xué)生回答和思考后點(diǎn)評(píng)．

　　（學(xué)生活動(dòng)）回答和思考教師提出的問題．

　�。蹎栴}1］我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪幾種不等式的證明方法？什么是比較法？什么是綜合法？

　�。蹎栴} 2］能否用比較法或綜合法證明不等式：

　　[點(diǎn)評(píng)]在證明不等式時(shí)，若用比較法或綜合法難以下手時(shí)，可采用另一種證明方法：分析法．（板書課題）

　　設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)已學(xué)證明不等式的方法．指出用比較法和綜合法證明不等式的不足之處，

激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新的證明不等式知識(shí)的積極性，導(dǎo)入本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容：用分析法證明不等式．

　�。ǘ�）新課講授

　　【嘗試探索、建立新知】

　�。ń處熁顒�(dòng)）教師講解綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系，然后提出問題供學(xué)生研究，并點(diǎn)評(píng)．幫助學(xué)生建立分析法證明不等式的知識(shí)體系．投影分析法證明不等式的概念．

　　（學(xué)生活動(dòng)）與教師一道分析綜合法的邏輯關(guān)系，在教師啟發(fā)、引導(dǎo)下嘗試探索，構(gòu)建新知．

　　[講解]綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系：以已知條件中的不等式或基本不等式作為結(jié)論，逐步尋找它成立的必要條件，直到必要條件就是要證明的不等式．

　�。蹎栴}1］我們能不能用同樣的思考問題的方式，把要證明的不等式作為結(jié)論，逐步去尋找它成立的充分條件呢？

　�。蹎栴}2］當(dāng)我們尋找的充分條件已經(jīng)是成立的不等式時(shí)，說明了什么呢？

　�。蹎栴}3］說明要證明的不等式成立的理由是什么呢？

　�。埸c(diǎn)評(píng)］從要證明的結(jié)論入手，逆求使它成立的充分條件，直到充分條件顯然成立為止，從而得出要證明的結(jié)論成立．就是分析法的邏輯關(guān)系．

　　[投影]分析法證明不等式的概念．（見課本）

　　設(shè)計(jì)意圖：對(duì)比綜合法的邏輯關(guān)系，教師層層設(shè)置問題，激發(fā)學(xué)生積極思考、研究．建立新的知識(shí)；分析法證明不等式．培養(yǎng)學(xué)習(xí)創(chuàng)新意識(shí)．

　　【例題示范、學(xué)會(huì)應(yīng)用】

　　（教師活動(dòng)）教師板書或投影例題，引導(dǎo)學(xué)生研究問題，構(gòu)思證題方法，學(xué)會(huì)用分析法證明不等式，并點(diǎn)評(píng)用分析法證明不等式必須注意的問題．

　�。▽W(xué)生活動(dòng)）學(xué)生在教師引導(dǎo)下，研究問題，與教師一道完成問題的論證．

　　例1　求證

　　[分析］此題用比較法和綜合法都很難入手，應(yīng)考慮用分析法．

　　證明：（見課本）

　　[點(diǎn)評(píng)]證明某些含有根式的不等式時(shí)，用綜合法比較困難．此例中，我們很難想到從“ ”入手，因此，在不等式的證明中，分析法占有重要的位置，我們常用分析法探索證明途徑，然后用綜合法的形式寫出證明過程，這是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思維方法，事實(shí)上，有些綜合法的表述正是建立在分析法思索的基礎(chǔ)上，分析法的優(yōu)越性正體現(xiàn)在此．

　　例2　已知： ，求證： （用分析法）請(qǐng)思考下列證法有沒有錯(cuò)誤？若有錯(cuò)誤，錯(cuò)在何處？

　�。弁队埃葑C法一：因?yàn)?sub> ，所以 、去分母，化為 ，就是 ．由已知 成立，所以求證的不等式成立．

　　證法二：欲證 ，因?yàn)?sub>

            只需證 ，

            即證 ，

            即證

　　因?yàn)?sub> 成立，所以 成立．

　　（證法二正確，證法一錯(cuò)誤．錯(cuò)誤的原因是：雖然是從結(jié)論出發(fā)，但不是逐步逆戰(zhàn)結(jié)論成立的充分條件，事實(shí)上找到明顯成立的不等式是結(jié)論的必要條件，所以不符合分析法的邏輯原理，犯了邏輯上的錯(cuò)誤．）

　　[點(diǎn)評(píng)]①用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是：

　�。ńY(jié)論）（步步尋找不等式成立的充分條件）（結(jié)論）

　　分析法是“執(zhí)果索因”，它與綜合法的證明過程（由因?qū)Ч�）恰恰相反．②用分析法證明時(shí)要注意書寫格式．分析法論證“若A則B”這個(gè)命題的書寫格式是：

　　要證命題B為真，

　　只需證明 為真，從而有……

　　這只需證明 為真，從而又有……

　　……

　　這只需證明A為真．

　　而已知A為真，故命題B必為真．

　　要理解上述格式中蘊(yùn)含的邏輯關(guān)系．

　　[投影] 例3  證明：通過水管放水，當(dāng)流速相同時(shí)，如果水管截面（指橫截面，下同）的周長相等，那么截面是圓的水管比截面是正方形的水管流量大．

　�。鄯治觯菰O(shè)未知數(shù)，列方程，因?yàn)楫?dāng)水的流速相同時(shí)，水管的流量取決于水管截面面積的大小，設(shè)截面的周長為 ，則周長為 的圓的半徑為 ，截面積為 ；周長為 的正方形邊長為 ，截面積為 ，所以本題只需證明：

　　證明：（見課本）

　　設(shè)計(jì)意圖：理解分析法與綜合法的內(nèi)在聯(lián)系，說明分析法在證明不等式中的重要地位．掌

握分析法證明不等式，特別重視分析法證題格式及格式中蘊(yùn)含的邏輯關(guān)系．靈活掌握分析法的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力．

　　【課堂練習(xí)】

　�。ń處熁顒�(dòng)）打出字幕（練習(xí)），請(qǐng)甲、乙兩位同學(xué)板演，巡視學(xué)生的解題情況，對(duì)正確的證法給予肯定，對(duì)偏差及時(shí)糾正．點(diǎn)評(píng)練習(xí)中存在的問題．

　�。▽W(xué)生活動(dòng)）在筆記本上完成練習(xí)，甲、乙兩位同學(xué)板演．

　　【字幕】練習(xí)1．求證

　　2．求證：

　　設(shè)計(jì)意圖：掌握用分析法證明不等式，反饋課堂效果，調(diào)節(jié)課堂教學(xué)．

　　【分析歸納、小結(jié)解法】

　　（教師活動(dòng)）分析歸納例題和練習(xí)的解題過程，小給用分析法證明不等式的解題方法．

　�。▽W(xué)生活動(dòng)）與教師一道分析歸納，小結(jié)解題方法，并記錄筆記．

　　1．分析法是證明不等式的一種常用基本方法．當(dāng)證題不知從何入手時(shí)，有時(shí)可以運(yùn)用分析法而獲得解決，特別是對(duì)于條件簡(jiǎn)單而結(jié)論復(fù)雜的題目往往更是行之有效的．

　　2．用分析法證明不等式時(shí)，要正確運(yùn)用不等式的性質(zhì)逆找充分條件，注意分析法的證題格式．

　　設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生分析歸納問題的能力，掌握分析法證明不等式的方法．

　�。ㄈ�）小結(jié)

　　（教師活動(dòng)）教師小結(jié)本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)．

　�。▽W(xué)生活動(dòng)）與教師一道小結(jié)，并記錄筆記．

　　本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了用分析法證明不等式．應(yīng)用分析法證明不等式時(shí)，掌握一些常用技巧：

通分、約分、多項(xiàng)式乘法、因式分解、去分母，兩邊乘方、開方等．在使用這些技巧變形時(shí)，要注意遵循不等式的性質(zhì)．另外還要適當(dāng)掌握指數(shù)、對(duì)數(shù)的性質(zhì)、三角公式在逆推中的靈活運(yùn)用．理解分析法和綜合法是對(duì)立統(tǒng)一的兩個(gè)方面．有時(shí)可以用分析法思索，而用綜合法書寫證明，或者分析法、綜合法相結(jié)合，共同完成證明過程．

　　設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行概括歸納的能力，鞏固所學(xué)知識(shí)．

　　（四）布置作業(yè)

　　1．課本作業(yè)：P17  4、5．

　　2．思考題：若 ，求證

　　3．研究性題：已知函數(shù) ， ，若 、 ，且 證明

　　 設(shè)計(jì)意圖：思考題供學(xué)有余力同學(xué)練習(xí)，研究性題供學(xué)生研究分析法證明有關(guān)問題．

    （五）課后點(diǎn)評(píng)

　　教學(xué)過程（www.qkfawen.com）是不斷發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的思維過程．本節(jié)課在形成分析法證明不等式認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，教師提出問題或引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，然后開拓學(xué)生思路，啟迪學(xué)生智慧，求得問題解決．一個(gè)問題解決后，及時(shí)地提出新問題，提高學(xué)生的思維層次，逐步由特殊到一般，由具體到抽象，由表面到本質(zhì)，把學(xué)生的思維步步引向深入，直到完成本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)．總之，本節(jié)課的教學(xué)安排是讓學(xué)生的思維由問題開始，到問題深化，始終處于積極主動(dòng)狀態(tài)．

　　本節(jié)課練中有講，講中有練，講練結(jié)合．在講與練的互相作用下，使學(xué)生的思維逐步深化．教師提出的問題和例題，先由學(xué)生自己研究，然后教師分析與概括．在教師講解中，又不斷讓學(xué)生練習(xí)，力求在練習(xí)中加深理解，盡量改變課堂上教師包括辦代替的做法．

　　在安排本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容時(shí)，按認(rèn)識(shí)規(guī)律，由淺入深，由易及難，逐漸展開教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生形成有序的知識(shí)結(jié)構(gòu)．

　　作業(yè)答案：

　　思考題：

．因?yàn)?sub> ，故 ，所以 成立．

　　研究性題：令 ， ，則：

， ，

故原不等式等價(jià)于

　　由已知有 ． 。所以上式等價(jià)于 ，即 。所以又等價(jià)于 ．因?yàn)?sub> ，上式成立，所以原不等式成立。                                           

 

不等式的實(shí)際解釋

　　題目：不等式： 是正數(shù)，且 ，則 �？梢越o出一個(gè)具有實(shí)際背景的解釋：在溶液里加溶質(zhì)則濃度增加，即 個(gè)單位溶液中含有 個(gè)單位的溶質(zhì)，其濃度小于加入 個(gè)單位溶質(zhì)后的溶液濃度，請(qǐng)你仿照此例，給出兩個(gè)不等式的解釋。

　　分析與解

　　1．先看問題中的不等式，建筑學(xué)規(guī)定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但按采光標(biāo)準(zhǔn)，窗戶面積與地板面積的比值應(yīng)不小于10%，并且這個(gè)比值越大，住宅的采光條件越好。我們知道如果同時(shí)增加相等的窗戶面積和地板面積，那么住宅的條件變好。

　　設(shè)地板面積為 平方米，窗戶面積為 平方米，若窗戶面積和地板面積同時(shí)增加相等的 平方米，住宅的采光條件變好了，即有

　　2． 是正數(shù)，不等式 可以推出 ，我們可以用混合溶液來解釋：兩個(gè)不同濃度的溶液混合后，其濃度介于混合前兩溶液濃度之間。

　　3．電阻串并聯(lián)。電阻值為 、 的電阻，串聯(lián)電阻為 ，并聯(lián)電阻為 ，串聯(lián)電阻變大，并聯(lián)電阻變小，因此有不等式 ，即

　　說明 許多數(shù)學(xué)結(jié)論是由實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題后，通過數(shù)學(xué)的運(yùn)算演變得到的。反過來，把抽象的數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際解釋也是一種數(shù)學(xué)運(yùn)用，值得大家關(guān)注。

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