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下學(xué)期 4．6 兩角和與差的正弦、余弦、正切1
4．6兩角和與差的正弦、余弦、正切（第一課時(shí)）
（一）教具準(zhǔn)備
直尺、圓規(guī)、投影儀
（二）教學(xué)目標(biāo)
1．掌握 公式的推導(dǎo)，并能用賦值法，求出公式 ．
2．應(yīng)用公式 ，求三角函數(shù)值．
（三）教學(xué)過(guò)程
1．設(shè)置情境
上一單元我們學(xué)習(xí)了同一個(gè)角的三角函數(shù)的性質(zhì)以及各三角函數(shù)之間的相互關(guān)系．本節(jié)開(kāi)始討論兩個(gè)角的三角函數(shù)，已知任意角 的三角函數(shù)值，如何求出 ， 或 的三角函數(shù)值，這一節(jié)課我們將研究 、 ．
2．探索研究
（1）公式 、 推導(dǎo)．
請(qǐng)大家考慮，如果已知 、 ，怎樣求出 ？
是否成立．
生：不成立， ， 等式就不成立．
師：很好，把 寫(xiě)成 是想應(yīng)用乘法對(duì)加法的分配律，可是 是角 的余弦值，并不是“ ”乘以 ，不能應(yīng)用分配律．
事實(shí)上如果 都是銳角，那么總有 ．
考慮兩組數(shù)據(jù)
�、� ， 這時(shí) ， 而
�、� ， 這時(shí) ， 而
從這組數(shù)據(jù)我們發(fā)現(xiàn)不能由 、 直接得出 ．師：如果我們?cè)偎愠? ， ，試試看能否找到什么關(guān)系．
生：① ， ， ， ，
而
�、� ， ， ， ，
而
由（1）、（2）可得出，
師：這位同學(xué)用具體的例子得到的一個(gè)關(guān)系式：
只有通過(guò)嚴(yán)格的理論證明才行．下面給出證明：為了證明它，首先給出兩點(diǎn)間的距離，圖1(也可以利用多媒體課件演示)．考慮坐標(biāo)平面內(nèi)的任意兩點(diǎn) ， 過(guò)點(diǎn) 分別作 軸的垂線 ， ，與 軸交于點(diǎn) ， ；同理 ，
那么 ， ，由勾股定理 ，由此得到平面內(nèi) 兩點(diǎn)間的距離公式
師：（可以用課件演示）如右圖2，在直角坐標(biāo)系 內(nèi)作單位圓 ，并作出角 、 與 請(qǐng)同學(xué)們把坐標(biāo)系中 ， ， ， 各點(diǎn)的坐標(biāo)用三角函數(shù)表示出來(lái)．
生： ， ， ，
師：線段 與 有什么關(guān)系？為什么？
生：因?yàn)椤? ≌△ ，所以 ．
師：請(qǐng)同學(xué)們用兩點(diǎn)間的距離公式把 表示出來(lái)并加以整理．
展開(kāi)并整理，得
所以 （記為 ）
這個(gè)公式對(duì)任意的 ， 均成立，如果我們把公式中的 都換成 ，又會(huì)得到什么？
生：
即
�。ㄓ洖� ）
（2）例題分析
【例1】不查表，求 及 的值．
因?yàn)轭}目要求不查表，所以要想辦法用特殊角計(jì)算，為此 化成 ， 化成 ，請(qǐng)同學(xué)們自己利用公式計(jì)算．
注：拆角方法并不惟一．事實(shí)上，如果求出 ，那么 ，再者， 也可寫(xiě)成 ，甚至 等均可以．
【例2】已知 ， ， ， ，求 的值．
分析：觀察公式 要算 應(yīng)先求出 ， ．
解：由 ， 得
又由 ， 得
【例3】 不查表，求下列各式的值：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
解：（1）
�。�2）
�。�3）
【例4】 證明公式：
（1） ；（2）
證明：（1）利用 可得
∴
（2）因?yàn)樯鲜街? 為任意角，故可將 換成 ，就得
即
練習(xí)（投影、學(xué)生板演）
（1）
�。�2）已知 ， ，求
解答：
（1）逆用公式
（2）湊角：∵ ，∴ ，故
．
說(shuō)明：請(qǐng)同學(xué)們很好體會(huì)一下，上述湊角的必然性和技巧性，并能主動(dòng)嘗試訓(xùn)練，以求熟練。
3．演練反饋
（1） 的值是（�。�
A． B． C． D．
（2） 等于（�。�
A．0 B． C． D．2
（3）已知銳角 滿足 ， ，則 為（ ）
A． B． C． 或 D． ，
參考答案：（1）B； （2）B； （3）A．
4．總結(jié)提煉
�。�1）牢記公式“ ”結(jié)構(gòu)，不符合條件的要能通過(guò)誘導(dǎo)公式進(jìn)行變形，使之符合公式結(jié)構(gòu)，即創(chuàng)造條件用公式．
�。�2）在“給值求值”題型中，要能靈活處理已、未知關(guān)系，如已知角 、 的值，求 ，應(yīng)視 、 分別為已知角， 為未知角，并實(shí)現(xiàn)“ ”與“ ”及“ ”之間的溝通： ．
（3）利用特值代換證明 ， ，體會(huì) 的強(qiáng)大功能．
（四）板書(shū)設(shè)計(jì)
1．平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式
2．兩角和余弦公式及推導(dǎo)
例1
例2
例3
例4
練習(xí)反饋
總結(jié)提煉
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