數(shù)學(xué)教案－等差數(shù)列

§3.2.1等差數(shù)列

目的：1.要求學(xué)生掌握等差數(shù)列的概念

2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，并能用來(lái)解決有關(guān)問(wèn)題。

重點(diǎn)：1.要證明數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，只要證明a_n+1-a_n等于常數(shù)即可（這里n≥1,且n∈N^*）

2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：a_n=a₁+(n-1)d (n≥1,且n∈N^*).

3．等到差中項(xiàng)：若a、A、b成等差數(shù)列，則A叫做a、b的等差中項(xiàng)，且

難點(diǎn)：等差數(shù)列“等差”的特點(diǎn)。公差是每一項(xiàng)（從第2項(xiàng)起）與它的前一項(xiàng)的關(guān)絕對(duì)不能把被減數(shù)與減數(shù)弄顛倒。

      等差數(shù)列通項(xiàng)公式的含義。等差數(shù)列的通項(xiàng)公式由它的首項(xiàng)和公差所完全確定。換句話說(shuō)，等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差已知，那么，這個(gè)等差數(shù)列就確定了。

過(guò)程：

一、引導(dǎo)觀察數(shù)列：4，5，6，7，8，9，10，……

                      3，0，-3，-6，……

                     ， ， ， ，……

                        12，9，6，3，……

       特點(diǎn)：從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差是常數(shù) — “等差”

二、得出等差數(shù)列的定義： （見(jiàn)P115）

        注意：從第二項(xiàng)起，后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)。

1．名稱(chēng)：AP     首項(xiàng)   公差

2．若   則該數(shù)列為常數(shù)列

3．尋求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：

              

    由此歸納為     當(dāng) 時(shí)  （成立）

       注意:  1° 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于 的一次函數(shù)

              2° 如果通項(xiàng)公式是關(guān)于 的一次函數(shù)，則該數(shù)列成AP

          證明：若

                它是以 為首項(xiàng)， 為公差的AP。

              3° 公式中若  則數(shù)列遞增， 則數(shù)列遞減

  4° 圖象： 一條直線上的一群孤立點(diǎn)

三、例題： 注意在 中 ， ， ， 四數(shù)中已知三個(gè)可以

       求出另一個(gè)。

例1 （P115例一）

例2 （P116例二）  注意：該題用方程組求參數(shù)

例3 （P116例三）  此題可以看成應(yīng)用題

四、  關(guān)于等差中項(xiàng)： 如果 成AP 則

      證明：設(shè)公差為 ，則  

            ∴

   例4  《教學(xué)與測(cè)試》P77 例一：在-1與7之間順次插入三個(gè)數(shù) 使這五個(gè)數(shù)成AP，求此數(shù)列。

       解一：∵   ∴ 是-1與7 的等差中項(xiàng)

∴    又是-1與3的等差中項(xiàng)

 ∴

             又是1與7的等差中項(xiàng)  ∴

       解二：設(shè)  ∴

∴所求的數(shù)列為-1，1，3，5，7

五、判斷一個(gè)數(shù)列是否成等差數(shù)列的常用方法

      1．定義法：即證明

        例5、已知數(shù)列 的前 項(xiàng)和 ，求證數(shù)列 成等差數(shù)列，并求其首項(xiàng)、公差、通項(xiàng)公式。 

          解：                      

當(dāng) 時(shí)  

             時(shí) 亦滿足  ∴

              首項(xiàng)     

               ∴ 成AP且公差為6

     2．中項(xiàng)法： 即利用中項(xiàng)公式，若 則 成AP。

           例6   已知 ， ， 成AP，求證 ， ， 也成AP。

             證明： ∵ ， ， 成AP  

   ∴ 化簡(jiǎn)得：                                       

                        

                      =

                 ∴ ， ， 也成AP

         3．通項(xiàng)公式法：利用等差數(shù)列得通項(xiàng)公式是關(guān)于 的一次函數(shù)這一性質(zhì)。

         例7  設(shè)數(shù)列 其前 項(xiàng)和 ，問(wèn)這個(gè)數(shù)列成AP嗎？

            解： 時(shí)        時(shí)

                   ∵    ∴    

                   ∴ 數(shù)列 不成AP   但從第2項(xiàng)起成AP。

五、小結(jié)：等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、等差中項(xiàng)、等差數(shù)列的證明方法

六、作業(yè)： P118 習(xí)題3．2    1-9

   七、練習(xí)：

       1．已知等差數(shù)列{a_n}，（1）a_n=2n+3,求a₁和d   （2）a₅=20,a₂₀=-35,寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式及a_100.

       2.在數(shù)列{a_n}中，a_n=3n-1，試用定義證明{a_n}是等差數(shù)列，并求出其公差。

         注：不能只計(jì)算a₂-a₁、_、a₃-a₂、a₄-a₃、等幾項(xiàng)等于常數(shù)就下結(jié)論為等差數(shù)列。

       3．在1和101中間插入三個(gè)數(shù)，使它們和這兩個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列，求插入的三個(gè)數(shù)。

       4．在兩個(gè)等差數(shù)列2，5，8，…與2，7，12，…中，求1到200內(nèi)相同項(xiàng)的個(gè)數(shù)。

          分析：本題可采用兩種方法來(lái)解。

            （1）用不定方程的求解方法來(lái)解。關(guān)鍵要從兩個(gè)不同的等差數(shù)列出發(fā)，根據(jù)

相同項(xiàng)，建立等式，結(jié)合整除性，尋找出相同項(xiàng)的通項(xiàng)。

            （2）用等差數(shù)列的性質(zhì)來(lái)求解。關(guān)鍵要抓�。簝蓚�(gè)等差數(shù)列的相同項(xiàng)按原來(lái)的前后次序仍組成一個(gè)等差數(shù)列，且公差為原來(lái)兩個(gè)公差的最小公倍數(shù)。

      5．在數(shù)列{a_n}中, a₁=1,a_n= ,(n≥2),其中S_n=a₁+a₂+…+a_n.證明數(shù)列是等

差數(shù)列，并求S_n。

        分析：只要證明 (n≥2)為一個(gè)常數(shù)，只需將遞推公式中的a_n轉(zhuǎn)化

為S_n-S_n-1后再變形，便可達(dá)到目的。

     6．已知數(shù)列{a_n}中，a_n-a_n-1=2(n≥2), 且a₁=1，則這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)為（  ）

        A  18       B 19       C 20       D21

     7．已知等差數(shù)列{a_n}的前三項(xiàng)為a-1,a+1,2a+3,則此數(shù)列的公式為（    ）

        A  2n-5     B  2n+1     C  2n-3    D  2n-1

     8.已知m、p為常數(shù)，設(shè)命題甲：a、b、c成等差數(shù)列；命題乙：ma+p、 mb+p 、mc+p

成等差數(shù)列，那么甲是乙的（   ）

A 充分而不必要條件    B 必要而不充分條件

C 充要條件            D既不必要也不充分條件

9．（1）若等差數(shù)列{a_n}滿足a₅=b,a₁₀=c(b≠c),則a₁₅=       

  （2）首項(xiàng)為-12的等差數(shù)列從第8項(xiàng)開(kāi)始為正數(shù)，則公差d的取值范圍是      

  （3）在正整數(shù)100至500之間能被11整除的整數(shù)的個(gè)數(shù)是      

10．已知a₅=11,a₈=5,求等差數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式。

11．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)S_n=n²+2n+4(n∈N^*)

(1)   寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的前三項(xiàng)a_1,a₂,a₃;

(2)   證明：除去首項(xiàng)后所成的數(shù)列a₂,a₃,a₄…是等差數(shù)列。

     12．已知兩個(gè)等差數(shù)列5，8，11，…和3，7，11，…都有100項(xiàng)，問(wèn)它們有多少個(gè)共同的項(xiàng)？

     13．若關(guān)于x的方程x²-x+a=0和x²-x+b=0（a≠b）的4個(gè)根可以組成首項(xiàng)為 的等到差數(shù)列，求a+b 的值。

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