指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用 —— 初中數(shù)學(xué)第五冊教案

教       案

 

課題：指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用

課型：綜合課

教學(xué)目標：在復(fù)習指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的特性之后，通過圖像對比使學(xué)生較快的學(xué)會不求值比較指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)值的大小及提高對復(fù)合型函數(shù)的定義域與值域的解題技巧。

重點：指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的特性。

難點：指導(dǎo)學(xué)生如何根據(jù)上述特性解決復(fù)合型函數(shù)的定義域與值域的問題。

教學(xué)方法：多媒體授課。

學(xué)法指導(dǎo)：借助列表與圖像法。

教具：多媒體教學(xué)設(shè)備。

教學(xué)過程：

一、   復(fù)習提問。通過找學(xué)生分別敘述指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的公式及特性，加深學(xué)生的記憶。

二、   展示指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的一覽表。并和學(xué)生們共同復(fù)習這些性質(zhì)。

 

 

 

 

指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)關(guān)系一覽表

函數(shù)

性質(zhì)

指數(shù)函數(shù)

y=a^x （a＞0且a≠1）

對數(shù)函數(shù)

y=log_ax（a＞0且a≠1）

定義域

實數(shù)集R

正實數(shù)集（0，﹢∞）

值域

正實數(shù)集（0，﹢∞）

實數(shù)集R

共同的點

（0，1）

（1，0）

單調(diào)性

a＞1 增函數(shù)

a＞1 增函數(shù)

0＜a＜1 減函數(shù)

0＜a＜1 減函數(shù)

 

函數(shù)特性

 

a＞1

當x＞0,y＞1

當x＞1,y＞0

當x＜0,0＜y＜1

當0＜x＜1, y＜0

0＜a＜1

當x＞0, 0＜y＜1

當x＞1, y＜0

當x＜0,y＞1

當0＜x＜1, y＞0

反函數(shù)

y=log_ax（a＞0且a≠1）

y=a^x （a＞0且a≠1）

 

 

圖像

          Y

    y=(1/2)^x      y=2^x

 

              (0,1)

                      X

   Y

 

               y=log₂x

       (1,0)

                      X

               y=log_1/2x

 

三、   同一坐標系中將指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)進行合成， 觀察其特點，并得出y＝log₂x與y＝2^x、 y＝log_1/2x與y＝（1/2）^x 的圖像關(guān)于直線y＝x對稱，互為反函數(shù)關(guān)系。所以y＝log_ax與y＝a^x互為反函數(shù)關(guān)系，且y＝log_ax的定義域與y＝a^x的值域相同，y＝log_ax的值域與y＝a^x的定義域相同。

 

Y

          y＝(1/2)^x                           y＝2^x           y＝x

 

（0，1）              y＝log₂x

 

 

（1，0）            X

                   y＝log_1/2x

                 

                       

 

注意：不能由圖像得到y(tǒng)＝2^x與y＝（1/2）^x為偶函數(shù)關(guān)系。因為偶函數(shù)是指同一個函數(shù)的圖像關(guān)于Y軸對稱。此圖雖有y＝2^x與y＝（1/2）^x圖像對稱，但它們是2個不同的函數(shù)。

四、   利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)性質(zhì)去解決含有指數(shù)與對數(shù)的復(fù)合型函數(shù)的定義域、值域問題及比較函數(shù)的大小值。

五、   例題

例⒈比較（Л）^（－0.1）與（Л）^（－0.5）的大小。

解：∵ y＝a^x中， a＝Л＞1

∴ 此函數(shù)為增函數(shù)

又∵ ﹣0.1＞﹣0.5

∴ （Л）^（－0.1）＞（Л）^（－0.5）

例⒉比較log₆7與log₇6的大小。

解： ∵ log₆7＞log₆6＝1

          log₇6＜log₇7＝1

         ∴  log₆7＞log₇6

注意：當2個對數(shù)值不能直接進行比較時，可在這2個對數(shù)中間插入一個已知數(shù)，間接比較這2個數(shù)的大小。

例⒊ 求y＝₃√4-x²的定義域和值域。

解：∵√4-x²  有意義，須使4-x²≥0

即x²≤4，      |x|≤2

∴-2≤x≤2，即定義域為[-2，2]

又∵0≤x²≤4，   ∴0≤4-x²≤4

∴0≤√4-x²  ≤2，且y＝3^x是增函數(shù)

          ∴3⁰≤y≤3²，即值域為[1，9]

例⒋ 求函數(shù)y＝√log_0.25（log_0.25x）的定義域。

解：要函數(shù)有意義，須使log_0.25（log_0.25x）≥0

      又∵ 0＜0.25＜1，∴y＝log_0.25x是減函數(shù)

        ∴ 0＜log_0.25x≤1

        ∴ log_0.251＜log_0.25x≤log_0.250.25

        ∴ 0.25≤x＜1，即定義域為[0.25，1）

六、   課堂練習

求下列函數(shù)的定義域

1.      y＝8^{[1/（2x-1）]}

2.      y＝log_a（1-x）² （a＞0，且a≠1）

七、   評講練習

八、   布置作業(yè)

第113頁，第10、11題。并預(yù)習指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)

在物理、社會科學(xué)中的實際應(yīng)用。

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