切線長定理

1、教材分析

　　（1）知識結構

　�。�2）重點、難點分析

　　重點：切線長定理及其應用．因切線長定理再次體現(xiàn)了圓的軸對稱性，它為證明線段相等、角相等、弧相等、垂直關系等提供了理論依據，它屬于工具知識，經常應用，因此它是本節(jié)的重點．

　　難點：與切線長定理有關的證明和計算問題．如120頁練習題中第3題，它不僅應用切線長定理，還用到解方程組的知識，是代數與幾何的綜合題，學生往往不能很好的把知識連貫起來．

　　2、教法建議

　　本節(jié)內容需要一個課時．

　　（1）在教學中，組織學生自主觀察、猜想、證明，并深刻剖析切線長定理的基本圖形；對重要的結論及時總結；

　�。�2）在教學中，以“觀察——猜想——證明——剖析——應用——歸納”為主線，開展在教師組織下，以學生為主體，活動式教學．

教學目標

　　1．理解切線長的概念，掌握切線長定理；

　　2．通過對例題的分析，培養(yǎng)學生分析總結問題的習慣，提高學生綜合運用知識解題的能力，培養(yǎng)數形結合的思想．

　　3．通過對定理的猜想和證明，激發(fā)學生的學習興趣，調動學生的學習積極性，樹立科學的學習態(tài)度．

　　教學重點:

　　切線長定理是教學重點

　　教學難點:

　　切線長定理的靈活運用是教學難點

　　教學過程設計:

　　（一）觀察、猜想、證明，形成定理

　　 1、切線長的概念．

　　如圖，P是⊙O外一點，PA，PB是⊙O的兩條切線，我們把線段PA，PB叫做點P到⊙O的切線長．

　　引導學生理解：切線和切線長是兩個不同的概念，切線是直線，不能度量；切線長是線段的長，這條線段的兩個端點分別是圓外一點和切點，可以度量.

　　2、觀察

　　利用電腦變動點P 的位置，觀察圖形的特征和各量之間的關系．

　　3、猜想

　　引導學生直觀判斷，猜想圖中PA是否等于PB． PA＝PB．

　　4、證明猜想，形成定理．

　　猜想是否正確。需要證明．

　　組織學生分析證明方法．關鍵是作出輔助線OA，OB，要證明PA＝PB．

　　想一想：根據圖形，你還可以得到什么結論？

　　∠OPA＝∠OPB(如圖)等．

　　切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角．

　　5、歸納：

　　把前面所學的切線的5條性質與切線長定理一起歸納切線的性質

　　6、切線長定理的基本圖形研究

　　如圖，PA，PB是⊙O的兩條切線，A，B為切點．直線OP交⊙O于點D，E，交AP于C

　　(1)寫出圖中所有的垂直關系；

　　(2)寫出圖中所有的全等三角形；

　　(3)寫出圖中所有的相似三角形；

　　(4)寫出圖中所有的等腰三角形．

　　說明：對基本圖形的深刻研究和認識是在學習幾何中關鍵，它是靈活應用知識的基礎．

　　（二）應用、歸納、反思

　　例1、已知：如圖，P為⊙O外一點，PA，PB為⊙O的切線，

　　A和B是切點，BC是直徑．

　　求證：AC∥OP．

　　分析：從條件想，由P是⊙O外一點，PA、PB為⊙O的切線，A，B是切點可得PA＝PB，∠APO＝∠BPO，又由條件BC是直徑，可得OB＝OC，由此聯(lián)想到與直徑有關的定理“垂徑定理”和“直徑所對的圓周角是直角”等．于是想到可能作輔助線AB.

　　從結論想，要證AC∥OP，如果連結AB交OP于O，轉化為證CA⊥AB，OP ⊥AB，或從OD為△ABC的中位線來考慮．也可考慮通過平行線的判定定理來證，可獲得多種證法．

　　證法一．如圖．連結AB．

　　　PA，PB分別切⊙O于A，B

　　　∴PA＝PB∠APO＝∠BPO

　　　∴ OP ⊥AB

　　　又∵BC為⊙O直徑

　　　∴AC⊥AB

　　　∴AC∥OP (學生板書)

　　證法二．連結AB，交OP于D

　　　PA，PB分別切⊙O于A、B

　　　∴PA＝PB∠APO＝∠BPO  

　　　∴AD＝BD

　　　又∵BO=DO

　　　∴OD是△ABC的中位線

　　　∴AC∥OP

　　證法三．連結AB，設OP與AB弧交于點E

　　　PA，PB分別切⊙O于A、B

　　　∴PA＝PB

　　　∴ OP ⊥AB

　　　∴ =

　　　∴∠C＝∠POB

　　　∴AC∥OP

　　反思：教師引導學生比較以上證法，激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)學生靈活應用知識的能力．
　例2、 圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等．

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　　反思：（1）例3事實上是圓外切四邊形的一個重要性質，請學生記住結論．（2）圓內接四邊形的性質：對角互補．

　　P120練習：

　　練習1　填空

　　如圖,已知⊙O的半徑為3厘米，PO＝6厘米，PA，PB分別切⊙O于A，B，則PA＝_______，∠APB＝________

　　練習2　已知：在△ABC中，BC＝14厘米，AC＝9厘米，AB＝13厘米，它的內切圓分別和BC，AC，AB切于點D，E，F(xiàn)，求AF，AD和CE的長．

　　分析：設各切線長AF，BD和CE分別為x厘米，y厘米，z厘米．后列出關于x , y，z的方程組，解方程組便可求出結果．

　�。ń饴裕�

　　反思：解這個題時，除了要用三角形內切圓的概念和切線長定理之外，還要用到解方程組的知識，是一道綜合性較強的計算題．通過對本題的研究培養(yǎng)學生的綜合應用知識的能力．

　　（三）小結

　　1、提出問題學生歸納

　�。�1）這節(jié)課學習的具體內容；

　　（2）學習用的數學思想方法；

　�。�3）應注意哪些概念之間的區(qū)別?

　　2、歸納基本圖形的結論

　　3、學習了用代數方法解決幾何問題的思想方法．

　　（四）作業(yè)

　　教材P131習題7．4A組1．(1)，2，3，4．B組1題．

探究活動

圖中找錯

　　你能找出（圖1）與（圖2）的錯誤所在嗎？

　　在圖2中，P₁A為⊙O₁和⊙O₃的切線、P₁B為⊙O₁和⊙O₂的切線、P₂C為⊙O₂和⊙O₃的切線．

　　

　　提示：在圖1中，連結PC、PD，則PC、PD都是圓的直徑，從圓上一點只能作一條直徑，所以此圖是一張錯圖，點O應在圓上．

　　在圖2中，設P₁A=P₁B=a，P₂B=P₂C=b，P₃A＝P₃C＝c，則有

　　　a= P₁A= P₁P₃+P₃A= P₁P₃+ c　�、�

　　　c= P₃C= P₂P₃+P₃A= P₂P₃+ b　　②

　　　a= P₁B= P₁P₂+P₂B= P₁P₂+ b　�、�

　　　將②代人①式得

　　　a = P₁P₃+（P₂P₃+ b）= P₁P₃+P₂P₃+ b，

　　　∴a-b= P₁P₃+P₂P₃

　　　由③得a-b= P₁P₂得

　　　∴P₁P₂= P₂P₃+ P₁P₃

　　　∴P₁、P ₂ 、P₃應重合，故圖2是錯誤的．

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