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正切和余切
第一課時(shí)
一、教學(xué)目標(biāo)
1．使學(xué)生了解正切、余切的概念，能夠正確地用 、 表示直角三角形（其中一個(gè)銳角為 ）中兩邊的比，了解 與 成倒數(shù)關(guān)系，熟記30°、45°、60°角的各個(gè)三角函數(shù)值，會(huì)計(jì)算含有這三個(gè)特殊銳角的三角函數(shù)值的式子，會(huì)由一個(gè)特殊銳角的三角函數(shù)值說出這個(gè)角的度數(shù)，了解一個(gè)銳角的正切（余切）值與它的余角的余切（正切）值之間的關(guān)系。
2．逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、綜合、概括等邏輯思維能力。
3．培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、勇于創(chuàng)新的精神。
二、學(xué)法引導(dǎo)
1．教學(xué)方法：運(yùn)用類比法指導(dǎo)學(xué)生探索研究新知。
2．學(xué)生學(xué)法：運(yùn)用類比法主動(dòng)探索研究新知。
三、重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)及解決辦法
1．重點(diǎn)：了解正切、余切的概念，熟記特殊角的正切值和余切值。
2．難點(diǎn)：了解正切和余切的概念。
3．疑點(diǎn)：正切與余切概念的混淆．
4．解決辦法：通過類比引出概念和性質(zhì)，再通過大量直接應(yīng)用，鞏固概念和性質(zhì)。
四、教具準(zhǔn)備
投影機(jī)、投影片（自制）、三角板
五、教學(xué)步驟
�。ㄒ唬┟鞔_目標(biāo)
1．什么是銳角 的正弦、余弦？（結(jié)合下圖回答）。
2．填表
3．互為余角的正弦值、余弦值有何關(guān)系？
4．當(dāng)角度在0°～90°變化時(shí)，銳角的正弦值、余弦值有何變化規(guī)律？
5．我們已經(jīng)掌握一個(gè)銳角的正弦（余弦）是指直角三角形中該銳角的對(duì)邊（鄰邊）與斜邊的比值，那么直角三角形中，兩直角邊的比值與銳角的關(guān)系如何呢？在銳角三角函數(shù)中，除正、余弦外，還有其他一些三角函數(shù)，本節(jié)課我們學(xué)習(xí)正切和余切。
�。ǘ┱w感知
正切、余切的概念，也是本間的重點(diǎn)和關(guān)鍵，是全章知識(shí)的基礎(chǔ)，對(duì)學(xué)生今后的學(xué)習(xí)或工作都十分重要，教材在繼第一節(jié)正弦和余弦后，又以同樣的順序安排第二節(jié)正切余切，像這樣，把概論、計(jì)算和應(yīng)用分成兩塊，每塊自與一個(gè)整體小循環(huán)，第二循環(huán)又包含了第一循環(huán)的內(nèi)容，可以有效地克服難點(diǎn)，同時(shí)也使學(xué)生通過對(duì)比，便于掌握銳角三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)。
�。ㄈ�教學(xué)過程
1．引入正切、余切概念
�、俦竟�(jié)課我們研究?jī)芍苯沁叺谋戎蹬c銳角的關(guān)系，因此同學(xué)們首先應(yīng)思考：當(dāng)銳角固定時(shí)，兩直角邊的比值是否也固定？
因?yàn)閷W(xué)生在研究過正弦、余弦概念之后，已經(jīng)接觸過這類問題，所以大部分學(xué)生能口述證明，并進(jìn)一步猜測(cè)“兩直角邊的比值一定是正切和余切”。
�、诮o出正切、余切概念。
如圖，在 中，把 的對(duì)邊與鄰邊的比叫做 的正切，記作 。
即
并把 的鄰邊與對(duì)邊的比叫做 的余切，記作 ，
即
2． 與 的關(guān)系
請(qǐng)學(xué)生觀察 與 的表達(dá)式，得結(jié)論 （或 ， ）這個(gè)關(guān)系式既重要又易于掌握，必須讓學(xué)生深刻理解，并與 區(qū)別開．
3．銳角三角函數(shù)
由上圖， ， ， ， ，把銳角 的正弦、余弦、正切、余切都叫做 的銳角三角函數(shù)。
銳角三角函數(shù)概念的給出，使學(xué)生茅塞頓開，初步理解本節(jié)題目。
問：銳角三角函數(shù)能否為負(fù)數(shù)？
學(xué)生回答這個(gè)問題很容易。
4．特殊角的三角函數(shù)。
①教師出示幻燈片
請(qǐng)同學(xué)推算30°、45°、60°角的正切、余切值。（如下圖）
；
；
；
；
；
．
通過學(xué)生計(jì)算完成表格的過程，不僅復(fù)習(xí)鞏固了正切、余切概念，而且使學(xué)生熟記特殊角的正切值與余切值，同時(shí)滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。
0°，90°正切值與余切值可引導(dǎo)學(xué)生查“正切和余切表”，學(xué)生完全能獨(dú)立查出。
5．根據(jù)互為余角的正弦值與余弦值的關(guān)系，結(jié)合圖形，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)互為余角的正切值與余切值的關(guān)系。
結(jié)論：任意銳角的正切值等于它的余角的余切值，任意銳角的余切值等于它的余角的正切值。
即 ， ．
練習(xí)：1）請(qǐng)學(xué)生回答 與 的值各是多少？ 與 ？ 與 呢？學(xué)生口答之后，還可以為程度較高的學(xué)生設(shè)置問題： 與 有何關(guān)系？為什么？ 與 呢？
2）把下列正切或余切改寫成余角的余切或正切：
�。�1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） 。
6．例題
【例1】求下列各式的值：
�。�1） ；
�。�2） ．
解：（1）
；
（2）
＝2．
練習(xí)1．求下列各式的值：
�。�1） ；
�。�2） ；
�。�3） ；
�。�4） ；
�。�5） ．
2．填空：
�。�1）
（2）若 ，則銳角
（3）若 ，則銳角
學(xué)生的計(jì)算能力可能不很強(qiáng)，尤其是分式，二次根式的運(yùn)算，因此這里應(yīng)查缺補(bǔ)漏，以培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力。
�。ㄋ模┛偨Y(jié)擴(kuò)展
請(qǐng)學(xué)生小結(jié)：本節(jié)課了解了正切、余切的概念及 與 關(guān)系．知道特殊角的正切余切值及互為余角的正切值與余切值的關(guān)系．本課用到了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．
結(jié)合 及 ，可擴(kuò)展為 ．
六、布置作業(yè)
1．看教材P12～P14，培養(yǎng)學(xué)生看書習(xí)慣。
2．教材P16中習(xí)題6.2A組2、3、4、5、6．
七、板書設(shè)計(jì)
第二課時(shí)
一、教學(xué)目標(biāo)
1．鞏固正、余切概念，學(xué)會(huì)用正、余切來解決問題．
2．通過例題教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力； 通過歸納、概括，培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力。
3．培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、勇于創(chuàng)新的精神及良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。
二、學(xué)法引導(dǎo)
1．教學(xué)方法：指導(dǎo)探索研究法。
2．學(xué)生學(xué)法：主動(dòng)探索研究法。
三、重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)及解決辦法
1．重點(diǎn)：用正、余切解直角三角形。
2．難點(diǎn)：靈活運(yùn)用正切、余切。
3．疑點(diǎn)：學(xué)生可能對(duì)正切、余切概念掌握不牢，導(dǎo)致出現(xiàn) 之類的錯(cuò)誤，教學(xué)中應(yīng)引起重視，使學(xué)生熟能生巧。
4．解決辦法：通過教師精心引導(dǎo)，學(xué)生積極思維，主動(dòng)研究發(fā)現(xiàn)，及練習(xí)鞏固解決重難點(diǎn)及疑點(diǎn)。
四、教具準(zhǔn)備
投影機(jī)（或電腦）、自制投影片（或課件）、三角板
五、教學(xué)步驟
�。ㄒ唬┟鞔_目標(biāo)
結(jié)合圖，說出什么是 的正切、余切？
請(qǐng)班級(jí)里較差學(xué)生回答，以檢測(cè)其掌握情況．
2． 與 具有什么關(guān)系？
答： （或 或 ）．
3．互為余角的正切值與余切值具有什么關(guān)系？
答： ，
3．互為余角的正切值與余切值具有什么關(guān)系？
答： ，
4．在0°～90°間，正切、余切值隨角度變化而變化的規(guī)律是什么？
通過以上四個(gè)問題，使學(xué)生對(duì)新學(xué)的知識(shí)有了系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，便于應(yīng)用．
對(duì)概念的鞏固最好的途徑是配備練習(xí)題．因此，教師在引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)有關(guān)概念后，應(yīng)出示練習(xí)題（投影片）．
1．在 中， 為直角， 、 、 所對(duì)的邊分別為 。
①若 ， ，則 ， ， ，
�、谌� ，則
2．比較大�。�
�、� ②
③ ④
3．計(jì)算題：
�、� ；
�、� ．
�。ǘ┱w感知
本課安排在本小節(jié)末，運(yùn)用本小節(jié)的知識(shí)去解決一個(gè)簡(jiǎn)單問題，再次為本章第二節(jié)解直角三角形做好準(zhǔn)備．當(dāng)然，這個(gè)問題只用上一小節(jié)學(xué)過的正弦、余弦也可以解決，不過那樣做，就要先求出斜邊 ，解的過程要繁瑣一些。
�。ㄈ�教學(xué)過程
1．講授新課
【例】在 中， 為直角， 所對(duì)的邊分別是 ，已知 ， ，求 （保留兩位有效數(shù)字）．
這個(gè)題是本大節(jié)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查知識(shí)點(diǎn)面面俱到，是檢查全體學(xué)生是否全面達(dá)到教學(xué)目標(biāo)要求有效途徑，教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生全體參與，積極地探求各種解法，然后加以比較，優(yōu)選出最佳方法，以培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性、深刻性，形成良好的思維品質(zhì)。
分析：本題已知 和 ，求 ，觀察圖不難發(fā)現(xiàn)，邊 恰好是 的對(duì)邊與鄰邦邊，因此求 可選用以下兩個(gè)關(guān)系式：（1） ，（2） ．
請(qǐng)學(xué)生比較一下，哪一個(gè)關(guān)系計(jì)算更簡(jiǎn)便呢？答：若選用 ，由此得 ，用 除以含四位有效數(shù)字的數(shù)，計(jì)算比較麻煩；而選用 ，由此得 ．用 乘以含四位有效數(shù)字的數(shù)，計(jì)算相對(duì)方便．
解： ，
∴
解完例題之后，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)：本題顯示了“除法與乘法在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化”，其中“條件”是 與 互為倒數(shù)．認(rèn)真分析和利用這種轉(zhuǎn)化，有時(shí)可使計(jì)算簡(jiǎn)便．
2．鞏固練習(xí)
本節(jié)課實(shí)際上是對(duì)前面課的綜合，通過對(duì)前面知識(shí)的綜合運(yùn)用，以培養(yǎng)學(xué)生的比較、分析、概括等邏輯思維能力．因此例題后應(yīng)安排練習(xí)題如下：
在 中， 為直角， 、 、 所對(duì)的邊分別為 ．
�。�1）已知 ， ，求 和 ．
（2）已知 ， ，求 和 ．
�。�3）已知 ， ，求 ．
�。�4）已知 ， ，求 ．
（5）已知 ， ，求 ．
�。�6）已知 ， ，求 和 （保留兩位有效數(shù)字）．
教法說明：給學(xué)生足夠的時(shí)間，引導(dǎo)學(xué)生討論、研究，篩選出最佳關(guān)系式使計(jì)算簡(jiǎn)便，既培養(yǎng)學(xué)生計(jì)算能力，鞏固所學(xué)知識(shí)，又能培養(yǎng)學(xué)生的思維能力．
[參考答案]（1） ， ；（2） ， ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ， ．
3．對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生，可引導(dǎo)其讀教材P15想一想．使學(xué)生對(duì)正弦、余弦間的關(guān)系，正切、余切間的關(guān)系以及弦、切間的關(guān)系有所了解，保證知識(shí)的完整性，為高中三角函數(shù)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)．教師板書
．
（四）總結(jié)、擴(kuò)展
引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：1．要認(rèn)真分析直角三角形中的各邊與角的三角函數(shù)關(guān)系．2．因?yàn)橥粋�(gè)角的正切和余切可以互相轉(zhuǎn)化，所以在選用關(guān)系時(shí)晝選擇乘法使計(jì)算較簡(jiǎn)便．
六、布置作業(yè)
1．看教材P1～P17，培養(yǎng)學(xué)生看書習(xí)慣。
2．教材P17習(xí)題A組7、8，學(xué)有余力的學(xué)生可選做B組題。
七、板書設(shè)計(jì)
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