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一元二次方程實(shí)數(shù)根錯(cuò)例剖析課 —— 初中數(shù)學(xué)第四冊(cè)教案

時(shí)間:2022-08-17 01:33:10 八年級(jí)數(shù)學(xué)教案 我要投稿
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一元二次方程實(shí)數(shù)根錯(cuò)例剖析課 —— 初中數(shù)學(xué)第四冊(cè)教案


課題:一元二次方程實(shí)數(shù)根錯(cuò)例剖析課

一元二次方程實(shí)數(shù)根錯(cuò)例剖析課 —— 初中數(shù)學(xué)第四冊(cè)教案

 

【教學(xué)目的】  精選學(xué)生在解一元二次方程有關(guān)問(wèn)題時(shí)出現(xiàn)的典型錯(cuò)例加以剖析,幫助學(xué)生找出產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因和糾正錯(cuò)誤的方法,使學(xué)生在解題時(shí)少犯錯(cuò)誤,從而培養(yǎng)學(xué)生思維的批判性和深刻性。

【課前練習(xí)】

1、關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0,當(dāng)a_____時(shí),方程為一元一次方程;當(dāng) a_____時(shí),方程為一元二次方程。

2、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式△=_______,當(dāng)△_______時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,當(dāng)△_______時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,當(dāng)△________時(shí),方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。

【典型例題】               

例1   下列方程中兩實(shí)數(shù)根之和為2的方程是()

(A)   x2+2x+3=0     (B) x2-2x+3=0    (c)  x2-2x-3=0      (D)  x2+2x+3=0

錯(cuò)答: B

正解: C

錯(cuò)因剖析:由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=2,極易誤選B,又考慮到方程有實(shí)數(shù)根,故由△可知,方程B無(wú)實(shí)數(shù)根,方程C合適。

例2   若關(guān)于x的方程x2+2(k+2)x+k2=0  兩個(gè)實(shí)數(shù)根之和大于-4,則k的取值范圍是(     )

(A)   k>-1     (B)  k<0    (c) -1< k<0    (D) -1≤k<0

錯(cuò)解 :B

正解:D

錯(cuò)因剖析:漏掉了方程有實(shí)數(shù)根的前提是△≥0

例3(2000廣西中考題) 已知關(guān)于x的一元二次方程(1-2k)x2-2 x-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根,求k的取值范圍。

錯(cuò)解: 由△=(-2 )2-4(1-2k)(-1) =-4k+8>0得  k<2又∵k+1≥0∴k≥ -1。即 k的取值范

圍是 -1≤k<2

錯(cuò)因剖析:漏掉了二次項(xiàng)系數(shù)1-2k≠0這個(gè)前提。事實(shí)上,當(dāng)1-2k=0k= 時(shí),原方程變?yōu)橐淮畏匠,不可能有兩個(gè)實(shí)根。

正解: -1≤k<2k≠

例4             (2002山東太原中考題) 已知x1,x2是關(guān)于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,當(dāng)x12+x22=15時(shí),m的值。

錯(cuò)解:由根與系數(shù)的關(guān)系得

       x1+x2-(2m+1),    x1x2m2+1,

      x12+x22(x1+x2)2-2 x1x2

             [-(2m+1)]2-2(m2+1)

             2 m2+4 m-1

      又∵ x12+x22=15

      2 m2+4 m-1=15

      m1 -4   m2 2

錯(cuò)因剖析:漏掉了一元二次方程有兩個(gè)實(shí)根的前提條件是判別式△≥0。因?yàn)楫?dāng)m = -4時(shí),方程為x2-7x+17=0,此時(shí)△=(-7)2-4×17×1=  -19<0,方程無(wú)實(shí)數(shù)根,不符合題意。

正解:m = 2

例5   若關(guān)于 x的方程(m2-1)x2-2 (m+2)x+1=0有實(shí)數(shù)根,求m的取值范圍。

錯(cuò)解:△=[-2(m+2)]2-4(m2-1)16 m+20

     ∵ △≥0

     ∴ 16 m+20≥0,

     ∴ m≥ -5/4

   又 ∵ m2-1≠0,

     ∴  m≠±1

     ∴ m的取值范圍是m≠±1m≥ -

錯(cuò)因剖析:此題只說(shuō)(m2-1)x2-2 (m+2)x+1=0是關(guān)于未知數(shù)x的方程,而未限定方程的次數(shù),所以在解題時(shí)就必須考慮m2-1=0和m2-1≠0兩種情況。當(dāng)m2-1=0時(shí),m=±1時(shí),方程變?yōu)橐辉淮畏匠,仍有?shí)數(shù)根。

正解:m的取值范圍是m≥-  

例6  已知二次方程x2+3 x+a=0有整數(shù)根,a是非負(fù)數(shù),求方程的整數(shù)根。

錯(cuò)解:∵方程有整數(shù)根,

∴△=9-4a>0,a<2.25

又∵a是非負(fù)數(shù),∴a=1a=2

a=1,x= -3± ,舍去a=2,x1= -1、 x2= -2

∴方程的整數(shù)根是x1= -1, x2= -2

錯(cuò)因剖析:概念模糊。非負(fù)整數(shù)應(yīng)包括零和正整數(shù)。上面答案僅是一部分,當(dāng)a=0時(shí),還可以求出方程的另兩個(gè)整數(shù)根,x3=0, x4= -3

正解:方程的整數(shù)根是x1= -1, x2= -2 ,  x3=0, x4= -3

 

【練習(xí)】

練習(xí)1、(01濟(jì)南中考題)已知關(guān)于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2。(1)求k的取值范圍;(2)是否存在實(shí)數(shù)k,使方程的兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)?如果存在,求出k的值;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。

解:(1)根據(jù)題意,得△=(2k-1)2-4 k2>0      解得k<

∴當(dāng)k< 時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

(2)存在。如果方程的兩實(shí)數(shù)根x1、x2互為相反數(shù),則x1+ x2= - =0,

 解得k 。經(jīng)檢驗(yàn)k 是方程- 的解。

∴當(dāng)k 時(shí),方程的兩實(shí)數(shù)根x1、x2互為相反數(shù)。

讀了上面的解題過(guò)程,請(qǐng)判斷是否有錯(cuò)誤?如果有,請(qǐng)指出錯(cuò)誤之處,并直接寫出正確答案。

解:上面解法錯(cuò)在如下兩個(gè)方面:

(1)漏掉k≠0,正確答案為:當(dāng)k< 時(shí)且k≠0時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

(2)k 。不滿足△>0,正確答案為:不存在實(shí)數(shù)k,使方程的兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)

練習(xí)2(02廣州市)當(dāng)a取什么值時(shí),關(guān)于未知數(shù)x的方程ax2+4x-1=0只有正實(shí)數(shù)根 ?

解:(1)當(dāng)a=0時(shí),方程為4x-1=0,∴x

(2)當(dāng)a≠0時(shí),∵△=16+4a≥0   a≥ -4

∴當(dāng)a≥ -4a≠0時(shí),方程有實(shí)數(shù)根。

又因?yàn)榉匠讨挥姓龑?shí)數(shù)根,設(shè)為x1,x2則:

x1+x2=- >0 ;

x1. x2=- >0      解得 :a<0

綜上所述,當(dāng)a=0、a≥ -4、a<0時(shí),即當(dāng)-4≤a≤0時(shí),原方程只有正實(shí)數(shù)根。

【小結(jié)】 以上數(shù)例,說(shuō)明我們?cè)谇蠼庥嘘P(guān)二次方程的問(wèn)題時(shí),往往急于尋求結(jié)論而忽視了實(shí)數(shù)根的存在與“△”之間的關(guān)系。

1、運(yùn)用根的判別式時(shí),若二次項(xiàng)系數(shù)為字母,要注意字母不為零的條件。

2、運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系時(shí),△≥0是前提條件。

3、條件多面時(shí)(如例5、例6)考慮要周全。

【布置作業(yè)】  

1、當(dāng)m為何值時(shí),關(guān)于x的方程x2+2(m-1)x+ m2-9=0有兩個(gè)正根?

2、已知,關(guān)于x的方程mx2-2(m+2)x+ m+5=0(m≠0)沒(méi)有實(shí)數(shù)根。求證:關(guān)于x的方程

m-5)x2-2(m+2)x + m=0一定有一個(gè)或兩個(gè)實(shí)數(shù)根。

考題匯編

1、(2000年廣東省中考題)設(shè)x1、 x2是方程x2-5x+3=0的兩個(gè)根,不解方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系,求(x1-x22的值。

2、(2001年廣東省中考題)已知關(guān)于x的方程x2-2x+m-1=0

(1)若方程的一個(gè)根為1,求m的值。

(2)m=5時(shí),原方程是否有實(shí)數(shù)根,如果有,求出它的實(shí)數(shù)根;如果沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由。

3、(2002年廣東省中考題)已知關(guān)于x的方程x2+2(m-2)x+ m2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且兩根的平方和比兩根的積大33,求m的值。

4、(2003年廣東省中考題)已知x1、x2為方程x2+px+q=0的兩個(gè)根,且x1+x2=6,x12+x22=20,求pq的值。

 

課題:一元二次方程實(shí)數(shù)根錯(cuò)例剖析課

 

【教學(xué)目的】  精選學(xué)生在解一元二次方程有關(guān)問(wèn)題時(shí)出現(xiàn)的典型錯(cuò)例加以剖析,幫助學(xué)生找出產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因和糾正錯(cuò)誤的方法,使學(xué)生在解題時(shí)少犯錯(cuò)誤,從而培養(yǎng)學(xué)生思維的批判性和深刻性。

【課前練習(xí)】

1、關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0,當(dāng)a_____時(shí),方程為一元一次方程;當(dāng) a_____時(shí),方程為一元二次方程。

2、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式△=_______,當(dāng)△_______時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,當(dāng)△_______時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,當(dāng)△________時(shí),方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。

【典型例題】               

例1   下列方程中兩實(shí)數(shù)根之和為2的方程是()

(A)   x2+2x+3=0     (B) x2-2x+3=0    (c)  x2-2x-3=0      (D)  x2+2x+3=0

錯(cuò)答: B

正解: C

錯(cuò)因剖析:由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=2,極易誤選B,又考慮到方程有實(shí)數(shù)根,故由△可知,方程B無(wú)實(shí)數(shù)根,方程C合適。

例2   若關(guān)于x的方程x2+2(k+2)x+k2=0  兩個(gè)實(shí)數(shù)根之和大于-4,則k的取值范圍是(     )

(A)   k>-1     (B)  k<0    (c) -1< k<0    (D) -1≤k<0

錯(cuò)解 :B

正解:D

錯(cuò)因剖析:漏掉了方程有實(shí)數(shù)根的前提是△≥0

例3(2000廣西中考題) 已知關(guān)于x的一元二次方程(1-2k)x2-2 x-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根,求k的取值范圍。

錯(cuò)解: 由△=(-2 )2-4(1-2k)(-1) =-4k+8>0得  k<2又∵k+1≥0∴k≥ -1。即 k的取值范

圍是 -1≤k<2

錯(cuò)因剖析:漏掉了二次項(xiàng)系數(shù)1-2k≠0這個(gè)前提。事實(shí)上,當(dāng)1-2k=0k= 時(shí),原方程變?yōu)橐淮畏匠蹋豢赡苡袃蓚(gè)實(shí)根。

正解: -1≤k<2k≠

例4             (2002山東太原中考題) 已知x1x2是關(guān)于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,當(dāng)x12+x22=15時(shí),m的值。

錯(cuò)解:由根與系數(shù)的關(guān)系得

       x1+x2-(2m+1),    x1x2m2+1,

      x12+x22(x1+x2)2-2 x1x2

             [-(2m+1)]2-2(m2+1)

             2 m2+4 m-1

      又∵ x12+x22=15

      2 m2+4 m-1=15

      m1 -4   m2 2

錯(cuò)因剖析:漏掉了一元二次方程有兩個(gè)實(shí)根的前提條件是判別式△≥0。因?yàn)楫?dāng)m = -4時(shí),方程為x2-7x+17=0,此時(shí)△=(-7)2-4×17×1=  -19<0,方程無(wú)實(shí)數(shù)根,不符合題意。

正解:m = 2

例5   若關(guān)于 x的方程(m2-1)x2-2 (m+2)x+1=0有實(shí)數(shù)根,求m的取值范圍。

錯(cuò)解:△=[-2(m+2)]2-4(m2-1)16 m+20

     ∵ △≥0

     ∴ 16 m+20≥0,

     ∴ m≥ -5/4

   又 ∵ m2-1≠0,

     ∴  m≠±1

     ∴ m的取值范圍是m≠±1m≥ -

錯(cuò)因剖析:此題只說(shuō)(m2-1)x2-2 (m+2)x+1=0是關(guān)于未知數(shù)x的方程,而未限定方程的次數(shù),所以在解題時(shí)就必須考慮m2-1=0和m2-1≠0兩種情況。當(dāng)m2-1=0時(shí),m=±1時(shí),方程變?yōu)橐辉淮畏匠,仍有?shí)數(shù)根。

正解:m的取值范圍是m≥-  

例6  已知二次方程x2+3 x+a=0有整數(shù)根,a是非負(fù)數(shù),求方程的整數(shù)根。

錯(cuò)解:∵方程有整數(shù)根,

∴△=9-4a>0,a<2.25

又∵a是非負(fù)數(shù),∴a=1a=2

a=1,x= -3± ,舍去;a=2,x1= -1、 x2= -2

∴方程的整數(shù)根是x1= -1, x2= -2

錯(cuò)因剖析:概念模糊。非負(fù)整數(shù)應(yīng)包括零和正整數(shù)。上面答案僅是一部分,當(dāng)a=0時(shí),還可以求出方程的另兩個(gè)整數(shù)根,x3=0, x4= -3

正解:方程的整數(shù)根是x1= -1, x2= -2 ,  x3=0, x4= -3

 

【練習(xí)】

練習(xí)1、(01濟(jì)南中考題)已知關(guān)于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2(1)求k的取值范圍;(2)是否存在實(shí)數(shù)k,使方程的兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)?如果存在,求出k的值;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。

解:(1)根據(jù)題意,得△=(2k-1)2-4 k2>0      解得k<

∴當(dāng)k< 時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

(2)存在。如果方程的兩實(shí)數(shù)根x1、x2互為相反數(shù),則x1+ x2= - =0,

 解得k 。經(jīng)檢驗(yàn)k 是方程- 的解。

∴當(dāng)k 時(shí),方程的兩實(shí)數(shù)根x1、x2互為相反數(shù)。

讀了上面的解題過(guò)程,請(qǐng)判斷是否有錯(cuò)誤?如果有,請(qǐng)指出錯(cuò)誤之處,并直接寫出正確答案。

解:上面解法錯(cuò)在如下兩個(gè)方面:

(1)漏掉k≠0,正確答案為:當(dāng)k< 時(shí)且k≠0時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

(2)k 。不滿足△>0,正確答案為:不存在實(shí)數(shù)k,使方程的兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)

練習(xí)2(02廣州市)當(dāng)a取什么值時(shí),關(guān)于未知數(shù)x的方程ax2+4x-1=0只有正實(shí)數(shù)根 ?

解:(1)當(dāng)a=0時(shí),方程為4x-1=0,∴x

(2)當(dāng)a≠0時(shí),∵△=16+4a≥0   a≥ -4

∴當(dāng)a≥ -4a≠0時(shí),方程有實(shí)數(shù)根。

又因?yàn)榉匠讨挥姓龑?shí)數(shù)根,設(shè)為x1,x2,則:

x1+x2=- >0 ;

x1. x2=- >0      解得 :a<0

綜上所述,當(dāng)a=0、a≥ -4、a<0時(shí),即當(dāng)-4≤a≤0時(shí),原方程只有正實(shí)數(shù)根。

【小結(jié)】 以上數(shù)例,說(shuō)明我們?cè)谇蠼庥嘘P(guān)二次方程的問(wèn)題時(shí),往往急于尋求結(jié)論而忽視了實(shí)數(shù)根的存在與“△”之間的關(guān)系。

1、運(yùn)用根的判別式時(shí),若二次項(xiàng)系數(shù)為字母,要注意字母不為零的條件。

2、運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系時(shí),△≥0是前提條件。

3、條件多面時(shí)(如例5、例6)考慮要周全。

【布置作業(yè)】  

1、當(dāng)m為何值時(shí),關(guān)于x的方程x2+2(m-1)x+ m2-9=0有兩個(gè)正根?

2、已知,關(guān)于x的方程mx2-2(m+2)x+ m+5=0(m≠0)沒(méi)有實(shí)數(shù)根。求證:關(guān)于x的方程

m-5)x2-2(m+2)x + m=0一定有一個(gè)或兩個(gè)實(shí)數(shù)根。

考題匯編

1、(2000年廣東省中考題)設(shè)x1、 x2是方程x2-5x+3=0的兩個(gè)根,不解方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系,求(x1-x22的值。

2、(2001年廣東省中考題)已知關(guān)于x的方程x2-2x+m-1=0

(1)若方程的一個(gè)根為1,求m的值。

(2)m=5時(shí),原方程是否有實(shí)數(shù)根,如果有,求出它的實(shí)數(shù)根;如果沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由。

3、(2002年廣東省中考題)已知關(guān)于x的方程x2+2(m-2)x+ m2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且兩根的平方和比兩根的積大33,求m的值。

4、(2003年廣東省中考題)已知x1、x2為方程x2+px+q=0的兩個(gè)根,且x1+x2=6,x12+x22=20,求pq的值。

 



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