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一元二次方程實(shí)數(shù)根錯(cuò)例剖析課 —— 初中數(shù)學(xué)第四冊(cè)教案
課題:一元二次方程實(shí)數(shù)根錯(cuò)例剖析課
【教學(xué)目的】 精選學(xué)生在解一元二次方程有關(guān)問(wèn)題時(shí)出現(xiàn)的典型錯(cuò)例加以剖析,幫助學(xué)生找出產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因和糾正錯(cuò)誤的方法,使學(xué)生在解題時(shí)少犯錯(cuò)誤,從而培養(yǎng)學(xué)生思維的批判性和深刻性。
【課前練習(xí)】
1、關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0,當(dāng)a_____時(shí),方程為一元一次方程;當(dāng) a_____時(shí),方程為一元二次方程。
2、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式△=_______,當(dāng)△_______時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,當(dāng)△_______時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,當(dāng)△________時(shí),方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。
【典型例題】
例1 下列方程中兩實(shí)數(shù)根之和為2的方程是()
(A) x2+2x+3=0 (B) x2-2x+3=0 (c) x2-2x-3=0 (D) x2+2x+3=0
錯(cuò)答: B
正解: C
錯(cuò)因剖析:由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=2,極易誤選B,又考慮到方程有實(shí)數(shù)根,故由△可知,方程B無(wú)實(shí)數(shù)根,方程C合適。
例2 若關(guān)于x的方程x2+2(k+2)x+k2=0 兩個(gè)實(shí)數(shù)根之和大于-4,則k的取值范圍是( )
(A) k>-1 (B) k<0 (c) -1< k<0 (D) -1≤k<0
錯(cuò)解 :B
正解:D
錯(cuò)因剖析:漏掉了方程有實(shí)數(shù)根的前提是△≥0
例3(2000廣西中考題) 已知關(guān)于x的一元二次方程(1-2k)x2-2
錯(cuò)解: 由△=(-2
圍是 -1≤k<2
錯(cuò)因剖析:漏掉了二次項(xiàng)系數(shù)1-2k≠0這個(gè)前提。事實(shí)上,當(dāng)1-2k=0即k=
正解: -1≤k<2且k≠
例4 (2002山東太原中考題) 已知x1,x2是關(guān)于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,當(dāng)x12+x22=15時(shí),求m的值。
錯(cuò)解:由根與系數(shù)的關(guān)系得
x1+x2= -(2m+1), x1x2=m2+1,
∵x12+x22=(x1+x2)2-2 x1x2
=[-(2m+1)]2-2(m2+1)
=2 m2+4 m-1
又∵ x12+x22=15
∴ 2 m2+4 m-1=15
∴ m1 = -4 m2 = 2
錯(cuò)因剖析:漏掉了一元二次方程有兩個(gè)實(shí)根的前提條件是判別式△≥0。因?yàn)楫?dāng)m = -4時(shí),方程為x2-7x+17=0,此時(shí)△=(-7)2-4×17×1= -19<0,方程無(wú)實(shí)數(shù)根,不符合題意。
正解:m = 2
例5 若關(guān)于 x的方程(m2-1)x2-2 (m+2)x+1=0有實(shí)數(shù)根,求m的取值范圍。
錯(cuò)解:△=[-2(m+2)]2-4(m2-1) =16 m+20
∵ △≥0
∴ 16 m+20≥0,
∴ m≥ -5/4
又 ∵ m2-1≠0,
∴ m≠±1
∴ m的取值范圍是m≠±1且m≥ -
錯(cuò)因剖析:此題只說(shuō)(m2-1)x2-2 (m+2)x+1=0是關(guān)于未知數(shù)x的方程,而未限定方程的次數(shù),所以在解題時(shí)就必須考慮m2-1=0和m2-1≠0兩種情況。當(dāng)m2-1=0時(shí),即m=±1時(shí),方程變?yōu)橐辉淮畏匠,仍有?shí)數(shù)根。
正解:m的取值范圍是m≥-
例6 已知二次方程x2+3 x+a=0有整數(shù)根,a是非負(fù)數(shù),求方程的整數(shù)根。
錯(cuò)解:∵方程有整數(shù)根,
∴△=9-4a>0,則a<2.25
又∵a是非負(fù)數(shù),∴a=1或a=2
令a=1,則x= -3±
∴方程的整數(shù)根是x1= -1, x2= -2
錯(cuò)因剖析:概念模糊。非負(fù)整數(shù)應(yīng)包括零和正整數(shù)。上面答案僅是一部分,當(dāng)a=0時(shí),還可以求出方程的另兩個(gè)整數(shù)根,x3=0, x4= -3
正解:方程的整數(shù)根是x1= -1, x2= -2 , x3=0, x4= -3
【練習(xí)】
練習(xí)1、(01濟(jì)南中考題)已知關(guān)于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2。(1)求k的取值范圍;(2)是否存在實(shí)數(shù)k,使方程的兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)?如果存在,求出k的值;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。
解:(1)根據(jù)題意,得△=(2k-1)2-4 k2>0 解得k<
∴當(dāng)k<
(2)存在。如果方程的兩實(shí)數(shù)根x1、x2互為相反數(shù),則x1+ x2= -
解得k=
∴當(dāng)k=
讀了上面的解題過(guò)程,請(qǐng)判斷是否有錯(cuò)誤?如果有,請(qǐng)指出錯(cuò)誤之處,并直接寫出正確答案。
解:上面解法錯(cuò)在如下兩個(gè)方面:
(1)漏掉k≠0,正確答案為:當(dāng)k<
(2)k=
練習(xí)2(02廣州市)當(dāng)a取什么值時(shí),關(guān)于未知數(shù)x的方程ax2+4x-1=0只有正實(shí)數(shù)根 ?
解:(1)當(dāng)a=0時(shí),方程為4x-1=0,∴x=
(2)當(dāng)a≠0時(shí),∵△=16+4a≥0 ∴a≥ -4
∴當(dāng)a≥ -4且a≠0時(shí),方程有實(shí)數(shù)根。
又因?yàn)榉匠讨挥姓龑?shí)數(shù)根,設(shè)為x1,x2,則:
x1. x2=-
綜上所述,當(dāng)a=0、a≥ -4、a<0時(shí),即當(dāng)-4≤a≤0時(shí),原方程只有正實(shí)數(shù)根。
【小結(jié)】 以上數(shù)例,說(shuō)明我們?cè)谇蠼庥嘘P(guān)二次方程的問(wèn)題時(shí),往往急于尋求結(jié)論而忽視了實(shí)數(shù)根的存在與“△”之間的關(guān)系。
1、運(yùn)用根的判別式時(shí),若二次項(xiàng)系數(shù)為字母,要注意字母不為零的條件。
2、運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系時(shí),△≥0是前提條件。
3、條件多面時(shí)(如例5、例6)考慮要周全。
【布置作業(yè)】
1、當(dāng)m為何值時(shí),關(guān)于x的方程x2+2(m-1)x+ m2-9=0有兩個(gè)正根?
2、已知,關(guān)于x的方程mx2-2(m+2)x+ m+5=0(m≠0)沒(méi)有實(shí)數(shù)根。求證:關(guān)于x的方程
(m-5)x2-2(m+2)x + m=0一定有一個(gè)或兩個(gè)實(shí)數(shù)根。
考題匯編
1、(2000年廣東省中考題)設(shè)x1、 x2是方程x2-5x+3=0的兩個(gè)根,不解方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系,求(x1-x2)2的值。
2、(2001年廣東省中考題)已知關(guān)于x的方程x2-2x+m-1=0
(1)若方程的一個(gè)根為1,求m的值。
(2)m=5時(shí),原方程是否有實(shí)數(shù)根,如果有,求出它的實(shí)數(shù)根;如果沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由。
3、(2002年廣東省中考題)已知關(guān)于x的方程x2+2(m-2)x+ m2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且兩根的平方和比兩根的積大33,求m的值。
4、(2003年廣東省中考題)已知x1、x2為方程x2+px+q=0的兩個(gè)根,且x1+x2=6,x12+x22=20,求p和q的值。
課題:一元二次方程實(shí)數(shù)根錯(cuò)例剖析課
【教學(xué)目的】 精選學(xué)生在解一元二次方程有關(guān)問(wèn)題時(shí)出現(xiàn)的典型錯(cuò)例加以剖析,幫助學(xué)生找出產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因和糾正錯(cuò)誤的方法,使學(xué)生在解題時(shí)少犯錯(cuò)誤,從而培養(yǎng)學(xué)生思維的批判性和深刻性。
【課前練習(xí)】
1、關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0,當(dāng)a_____時(shí),方程為一元一次方程;當(dāng) a_____時(shí),方程為一元二次方程。
2、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式△=_______,當(dāng)△_______時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,當(dāng)△_______時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,當(dāng)△________時(shí),方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。
【典型例題】
例1 下列方程中兩實(shí)數(shù)根之和為2的方程是()
(A) x2+2x+3=0 (B) x2-2x+3=0 (c) x2-2x-3=0 (D) x2+2x+3=0
錯(cuò)答: B
正解: C
錯(cuò)因剖析:由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=2,極易誤選B,又考慮到方程有實(shí)數(shù)根,故由△可知,方程B無(wú)實(shí)數(shù)根,方程C合適。
例2 若關(guān)于x的方程x2+2(k+2)x+k2=0 兩個(gè)實(shí)數(shù)根之和大于-4,則k的取值范圍是( )
(A) k>-1 (B) k<0 (c) -1< k<0 (D) -1≤k<0
錯(cuò)解 :B
正解:D
錯(cuò)因剖析:漏掉了方程有實(shí)數(shù)根的前提是△≥0
例3(2000廣西中考題) 已知關(guān)于x的一元二次方程(1-2k)x2-2
錯(cuò)解: 由△=(-2
圍是 -1≤k<2
錯(cuò)因剖析:漏掉了二次項(xiàng)系數(shù)1-2k≠0這個(gè)前提。事實(shí)上,當(dāng)1-2k=0即k=
正解: -1≤k<2且k≠
例4 (2002山東太原中考題) 已知x1,x2是關(guān)于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,當(dāng)x12+x22=15時(shí),求m的值。
錯(cuò)解:由根與系數(shù)的關(guān)系得
x1+x2= -(2m+1), x1x2=m2+1,
∵x12+x22=(x1+x2)2-2 x1x2
=[-(2m+1)]2-2(m2+1)
=2 m2+4 m-1
又∵ x12+x22=15
∴ 2 m2+4 m-1=15
∴ m1 = -4 m2 = 2
錯(cuò)因剖析:漏掉了一元二次方程有兩個(gè)實(shí)根的前提條件是判別式△≥0。因?yàn)楫?dāng)m = -4時(shí),方程為x2-7x+17=0,此時(shí)△=(-7)2-4×17×1= -19<0,方程無(wú)實(shí)數(shù)根,不符合題意。
正解:m = 2
例5 若關(guān)于 x的方程(m2-1)x2-2 (m+2)x+1=0有實(shí)數(shù)根,求m的取值范圍。
錯(cuò)解:△=[-2(m+2)]2-4(m2-1) =16 m+20
∵ △≥0
∴ 16 m+20≥0,
∴ m≥ -5/4
又 ∵ m2-1≠0,
∴ m≠±1
∴ m的取值范圍是m≠±1且m≥ -
錯(cuò)因剖析:此題只說(shuō)(m2-1)x2-2 (m+2)x+1=0是關(guān)于未知數(shù)x的方程,而未限定方程的次數(shù),所以在解題時(shí)就必須考慮m2-1=0和m2-1≠0兩種情況。當(dāng)m2-1=0時(shí),即m=±1時(shí),方程變?yōu)橐辉淮畏匠,仍有?shí)數(shù)根。
正解:m的取值范圍是m≥-
例6 已知二次方程x2+3 x+a=0有整數(shù)根,a是非負(fù)數(shù),求方程的整數(shù)根。
錯(cuò)解:∵方程有整數(shù)根,
∴△=9-4a>0,則a<2.25
又∵a是非負(fù)數(shù),∴a=1或a=2
令a=1,則x= -3±
∴方程的整數(shù)根是x1= -1, x2= -2
錯(cuò)因剖析:概念模糊。非負(fù)整數(shù)應(yīng)包括零和正整數(shù)。上面答案僅是一部分,當(dāng)a=0時(shí),還可以求出方程的另兩個(gè)整數(shù)根,x3=0, x4= -3
正解:方程的整數(shù)根是x1= -1, x2= -2 , x3=0, x4= -3
【練習(xí)】
練習(xí)1、(01濟(jì)南中考題)已知關(guān)于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2。(1)求k的取值范圍;(2)是否存在實(shí)數(shù)k,使方程的兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)?如果存在,求出k的值;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。
解:(1)根據(jù)題意,得△=(2k-1)2-4 k2>0 解得k<
∴當(dāng)k<
(2)存在。如果方程的兩實(shí)數(shù)根x1、x2互為相反數(shù),則x1+ x2= -
解得k=
∴當(dāng)k=
讀了上面的解題過(guò)程,請(qǐng)判斷是否有錯(cuò)誤?如果有,請(qǐng)指出錯(cuò)誤之處,并直接寫出正確答案。
解:上面解法錯(cuò)在如下兩個(gè)方面:
(1)漏掉k≠0,正確答案為:當(dāng)k<
(2)k=
練習(xí)2(02廣州市)當(dāng)a取什么值時(shí),關(guān)于未知數(shù)x的方程ax2+4x-1=0只有正實(shí)數(shù)根 ?
解:(1)當(dāng)a=0時(shí),方程為4x-1=0,∴x=
(2)當(dāng)a≠0時(shí),∵△=16+4a≥0 ∴a≥ -4
∴當(dāng)a≥ -4且a≠0時(shí),方程有實(shí)數(shù)根。
又因?yàn)榉匠讨挥姓龑?shí)數(shù)根,設(shè)為x1,x2,則:
x1. x2=-
綜上所述,當(dāng)a=0、a≥ -4、a<0時(shí),即當(dāng)-4≤a≤0時(shí),原方程只有正實(shí)數(shù)根。
【小結(jié)】 以上數(shù)例,說(shuō)明我們?cè)谇蠼庥嘘P(guān)二次方程的問(wèn)題時(shí),往往急于尋求結(jié)論而忽視了實(shí)數(shù)根的存在與“△”之間的關(guān)系。
1、運(yùn)用根的判別式時(shí),若二次項(xiàng)系數(shù)為字母,要注意字母不為零的條件。
2、運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系時(shí),△≥0是前提條件。
3、條件多面時(shí)(如例5、例6)考慮要周全。
【布置作業(yè)】
1、當(dāng)m為何值時(shí),關(guān)于x的方程x2+2(m-1)x+ m2-9=0有兩個(gè)正根?
2、已知,關(guān)于x的方程mx2-2(m+2)x+ m+5=0(m≠0)沒(méi)有實(shí)數(shù)根。求證:關(guān)于x的方程
(m-5)x2-2(m+2)x + m=0一定有一個(gè)或兩個(gè)實(shí)數(shù)根。
考題匯編
1、(2000年廣東省中考題)設(shè)x1、 x2是方程x2-5x+3=0的兩個(gè)根,不解方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系,求(x1-x2)2的值。
2、(2001年廣東省中考題)已知關(guān)于x的方程x2-2x+m-1=0
(1)若方程的一個(gè)根為1,求m的值。
(2)m=5時(shí),原方程是否有實(shí)數(shù)根,如果有,求出它的實(shí)數(shù)根;如果沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由。
3、(2002年廣東省中考題)已知關(guān)于x的方程x2+2(m-2)x+ m2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且兩根的平方和比兩根的積大33,求m的值。
4、(2003年廣東省中考題)已知x1、x2為方程x2+px+q=0的兩個(gè)根,且x1+x2=6,x12+x22=20,求p和q的值。
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