相交線、對(duì)頂角

教學(xué)建議

　　1．知識(shí)結(jié)構(gòu)

 

　　2．重點(diǎn)和難點(diǎn)分析

　�。�1）本節(jié)課的重點(diǎn)是對(duì)頂角的概念和性質(zhì)，這些是重要的基礎(chǔ)知識(shí)，在以后的學(xué)習(xí)中常常要用到，要求學(xué)生掌握．對(duì)頂角的概念是結(jié)合圖形描述的，這樣描述，便于學(xué)生在圖形中辨認(rèn).教學(xué)中不必讓學(xué)生背這些詞句，而是讓學(xué)生抓住概念的本質(zhì)，教給學(xué)生在圖形中如何辨認(rèn)它們.辨認(rèn)對(duì)頂角的要領(lǐng)是：首先要有兩條直線相交構(gòu)成四個(gè)角的前提條件，再找其中有公共頂點(diǎn)沒有公共邊（或不相鄰）的兩個(gè)角，就是對(duì)頂角.

　�。�2）本節(jié)課的難點(diǎn)是對(duì)頂角性質(zhì)的證明和書寫格式.要證明兩角相等，這對(duì)于剛學(xué)習(xí)推理證明的學(xué)生來說并非易事．教學(xué)時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生回憶至今為止已經(jīng)學(xué)過的關(guān)于兩個(gè)角相等的定理，使學(xué)生自己聯(lián)想到“同角的補(bǔ)角相等”這個(gè)定理，從而受到啟發(fā)獲得證明的思路．可先結(jié)合圖形用文字語言敘述推理過程，然后再“翻譯”成符號(hào)語言的幾何推理格式．要特別注意使學(xué)生明確每一步推理的根據(jù)．

　　3．教法建議

　�。�1）因?yàn)楸竟?jié)是由相交線的模型——用釘子固定的兩根木條來引入的.所以教師要事先準(zhǔn)備好教具，先讓學(xué)生觀察模型，對(duì)相交線建立感性認(rèn)識(shí)，然后在從模型抽象出兩條相交直線.或用我們提供的課件來引入本節(jié)課，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

　　（2）教師講完了對(duì)頂角的定義后，可以用以下方法讓學(xué)生感受對(duì)頂角的特征，探索其性質(zhì).老師拿出提前準(zhǔn)備好的剪刀，在講臺(tái)上演示.老師不停地變換剪刀的邊所成的角，讓學(xué)生思考，在剪刀的邊所在的角中，哪些角是對(duì)頂角，哪些角是鄰補(bǔ)角？讓學(xué)生在變化中理解對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角的意義.

　�。�3）本節(jié)課的內(nèi)容適合啟發(fā)式教學(xué)，教師可以先拿出相交線的模型，轉(zhuǎn)動(dòng)木條，觀察角的變化，然后抽象出兩條相交直線，再讓學(xué)生觀察四個(gè)角的特征，這四個(gè)角根據(jù)位置關(guān)系可以分幾類，這兩類角各有有什么特征？這些問題都要由老師設(shè)問、啟發(fā)，學(xué)生經(jīng)過觀察、分析、歸納總結(jié)出來，讓學(xué)生自己親歷一次發(fā)現(xiàn)的過程，有利于學(xué)生對(duì)對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角的概念和性質(zhì)的理解.

 

教學(xué)設(shè)計(jì)示例

　　一、素質(zhì)教育目標(biāo)

　　（一）知識(shí)教學(xué)點(diǎn)

　　1．理解對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角的概念，能在圖形中辨認(rèn)．

　　2．掌握對(duì)頂角相等的性質(zhì)和它的推證過程．

　　3．會(huì)用對(duì)頂角的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的推理和計(jì)算．

　　（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)

　　1．通過在圖形中辨認(rèn)對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角，培養(yǎng)學(xué)生的識(shí)圖能力．

　　2．通過對(duì)頂角件質(zhì)的推理過程，培養(yǎng)學(xué)生的推理和邏輯思維能力．

　　（三）德育滲透點(diǎn)

　　從復(fù)雜圖形分解為若干個(gè)基本圖形的過程中，滲透化難為易的化歸思想方法和方程思想．

　　（四）美育滲透點(diǎn)

　　通過實(shí)例，培養(yǎng)和提高學(xué)生的審美能力和審美標(biāo)準(zhǔn)；通過相交線，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)幾何圖形的簡(jiǎn)單美、對(duì)稱美．

　　二、學(xué)法引導(dǎo)

　　1．教師教法：教具直觀演示法啟發(fā)引導(dǎo)、嘗試研討．

　　2．學(xué)生學(xué)法：動(dòng)手動(dòng)腦、積極參與、認(rèn)真研討、學(xué)會(huì)概括．

　　三、重點(diǎn)、難點(diǎn)及解決辦法

　�。ㄒ唬┲攸c(diǎn)

　�。ǘ�）難點(diǎn)

　　在較復(fù)雜的圖形中準(zhǔn)確辨認(rèn)對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角．

　�。ㄈ�）疑點(diǎn)

　　對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角的圖形識(shí)別．

　�。ㄋ模┙鉀Q辦法

　　強(qiáng)調(diào)圖形的基本特征，指導(dǎo)學(xué)生逐步學(xué)會(huì)分解復(fù)雜圖形、找出基本圖形的方法．

　　四、課時(shí)安排

　　1課時(shí)

　　五、教具學(xué)具準(zhǔn)備

　　投影儀或電腦、三角尺、自制復(fù)合膠片、木條制成的相交直線的模型．

　　六、師生互動(dòng)活動(dòng)設(shè)計(jì)

　　1．通過實(shí)例創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入課題．

　　2．通過演示實(shí)驗(yàn)和學(xué)生討論、總結(jié)對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角兩個(gè)概念．

　　3．通過學(xué)生研討、練習(xí)鞏固完成性質(zhì)的講解．

　　4．通過學(xué)生總結(jié)完成課堂小結(jié)．

　　5．通過隨堂練習(xí)，檢測(cè)學(xué)生學(xué)習(xí)情況．

　　七、教學(xué)步驟

　�。ㄒ唬┟鞔_目標(biāo)

　　能在圖形中正確辨認(rèn)對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角，理解其概念，掌握其性質(zhì)，并運(yùn)用其進(jìn)行推理計(jì)算．

　　（二）整體感知

　　通過對(duì)較復(fù)雜圖形的認(rèn)識(shí)和學(xué)習(xí)，逐步加深幾何知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力和邏輯推理、表達(dá)能力．

　�。ㄈ�）教學(xué)過程

　　創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

　　投影打出本章的章前圖（投影片1），然后引導(dǎo)學(xué)生觀察，并回答問題．

　　學(xué)生活動(dòng)：口答哪些道路是交錯(cuò)的，哪些道路是平行的．

　　教師導(dǎo)入：圖中的道路是有寬度的，是有限長(zhǎng)的，而且也不是完全直的，當(dāng)我們把它們看成直線時(shí)，這些直線有些是相交線，有些是平行線．相交線、平行線都有許多重要性質(zhì)，并且在生產(chǎn)和生活中有廣泛應(yīng)用．它們就是我們本章要研究的課題：

　　【板書】第二章  相交線、平行線

　　【教法說明】以立交橋?yàn)閷?shí)例引出本章內(nèi)容，目的是①通過實(shí)例，讓學(xué)生了解相交線、平行線是我們?nèi)粘Ｉ�活中�?jīng)常見到的；②通過畫面，培養(yǎng)學(xué)生的空間想像能力；③通過畫面，啟發(fā)學(xué)生廣泛地聯(lián)想，讓學(xué)生知道，相交線、平行線的概念是從實(shí)物中抽象出來的；④通過學(xué)生熟悉的事物，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．

　　學(xué)生活動(dòng)：請(qǐng)學(xué)生舉出現(xiàn)實(shí)空間里相交線、平行線的一些實(shí)例．

　　教師導(dǎo)入：相交線、平行線在日常生活中經(jīng)常見到，有著廣泛應(yīng)用，所以研究這些問題對(duì)今后的工作和學(xué)習(xí)都是有用的，也將為后面的學(xué)習(xí)做些準(zhǔn)備．我們先研究直線相交的問題，從而引入本節(jié)課題．

　　【板制】2.1 相交線、對(duì)頂角

　　探究新知，講授新課

教師演示：取兩根木條a、b，用釘子將它們釘在一起，并且能隨意張開．固定水條a，繞釘子轉(zhuǎn)動(dòng)b，可以看到，b的位置變化了，a、b所成的角a也隨著變化．這說明兩條直線相交的不同位置情況，與它們的交角大小有關(guān)．可以用它們所成的角來說明相對(duì)位置的各種情況．所以研究?jī)蓷l直線相交問題首先來研究?jī)蓷l直線相交得到的有公共頂點(diǎn)的四個(gè)角．這四個(gè)角都有一個(gè)公共頂點(diǎn)，其中有些有公共邊，有些沒有公共邊，故我們把這些角分成兩類：對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角．

　　 【教法說明】演示相交線的模型，目的是使學(xué)生領(lǐng)會(huì)研究相交線為什么要研究它們相交所成的角．

　　1．對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角的概念

　　學(xué)生活動(dòng)：觀察右圖，同桌討論if與Z3有什么特點(diǎn)，然后，舉手回答，教師統(tǒng)一學(xué)生觀點(diǎn)并板書．

　　【板書】∠1與∠3是直線AB、CD相交得到的，它們有一個(gè)公共頂點(diǎn)O，沒有公共邊，像這樣的兩個(gè)角叫做對(duì)頂角．

　　學(xué)生活動(dòng)：讓學(xué)生找一找右圖中還有沒有對(duì)頂角，如果有，是哪兩個(gè)角？

　　學(xué)生口答：∠2和∠4再也是對(duì)頂角．

　　緊扣對(duì)頂角定義強(qiáng)調(diào)以下兩點(diǎn)：

　�。�1）辨認(rèn)對(duì)頂角的要領(lǐng)：一看是不是兩條直線相交所成的角，對(duì)頂角與相交線是唇齒相依，哪里有相交直線，哪里就有對(duì)頂角，反過來，哪里有對(duì)頂角，哪里就有相交線；二看是不是有公共頂點(diǎn)；三看是不是沒有公共邊．符合這三個(gè)條件時(shí)，才能確定這兩個(gè)角是對(duì)頂角，只具備一個(gè)或兩個(gè)條件都不行．

　�。�2）對(duì)頂角是成對(duì)存在的，它們互為對(duì)頂角，如∠1是∠3的對(duì)頂角，同時(shí)，∠3是∠1的對(duì)頂角，也常說∠1和∠3是對(duì)頂角．

　　反饋練習(xí)：投影顯示（投影片2）

　　下列各圖中，∠l和∠2是對(duì)頂角嗎？為什么？（射線OA是活動(dòng)的）

　　【教法說明】本組題目是鞏固對(duì)頂角概念的，通過練習(xí)，使學(xué)生掌握在圖形中辨認(rèn)對(duì)頂角的要領(lǐng)，同時(shí)又用反例印證概念，使學(xué)生加深印象，最后一個(gè)圖形為下面講部補(bǔ)角做鋪墊。

　　學(xué)生活動(dòng)：觀察圖2－l，∠1和∠2與對(duì)頂角相比，有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，從而得出鄰補(bǔ)角的定義．

　　【板書】∠l和∠2也是直線AB、CD相交得到的，它們不僅有一個(gè)公共頂點(diǎn)O，還有一條公共邊OA，像這樣的兩個(gè)角叫做鄰補(bǔ)角．

　　學(xué)生活動(dòng)：讓學(xué)生找一找圖2－1中還有沒有其他鄰補(bǔ)角，如果有，是哪些角．

　　學(xué)生口答：∠1和∠4，∠2和∠3，∠3和∠4都是鄰補(bǔ)角．

　　 【教法說明】把鄰補(bǔ)角的概念與對(duì)頂角概念對(duì)比著講解，便于掌握概念之間的聯(lián)系與  區(qū)別，加深對(duì)概念的理解．

　　提出問題：如右圖，∠1和∠2還是鄰補(bǔ)角嗎？為什么？

　　師：鄰補(bǔ)角也可以看成是一條直線與端點(diǎn)在這條直線上的一條射線組成的兩個(gè)角，由此可知，鄰補(bǔ)角是有特殊位置關(guān)系的兩個(gè)互補(bǔ)的角．右圖這樣的鄰補(bǔ)角在圖形中也是常見的．在這種情況下，只存在一對(duì)鄰補(bǔ)角，而不存在對(duì)頂角，與兩條直線相交所得的角不同．

　　教師演示：圖中射線OC固定在一個(gè)位置不動(dòng)，把∠1和∠2拉開，并且保持角的大小不變，如右圖（投影片3）．

　　 提出問題：∠l和∠2的和是多少度？∠l和∠2還是鄰補(bǔ)角嗎？為什么？

　　學(xué)生活動(dòng)：觀察圖形的變換，回答教師提出的問題，同桌可相互討論．

　　【教法說明】此問題意在區(qū)別互為補(bǔ)角和互為鄰補(bǔ)角的概念，演示活動(dòng)投影片，有助于學(xué)生抓住概念的本質(zhì)，比教師單純地強(qiáng)調(diào)效果更好．

　　2．對(duì)頂角的性質(zhì)

　　提出問題：我們?cè)趫D形中能準(zhǔn)確地辨認(rèn)對(duì)頂角，那么對(duì)頂角有什么性質(zhì)呢？

　　學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生以小組為單位展開討論，選代表發(fā)言，井口答為什么．

　　【教法說明】學(xué)生說出對(duì)頂角∠l＝∠3后，啟發(fā)學(xué)生再說出∠2＝∠4，然后得出對(duì)頂角相等的性質(zhì)．在學(xué)生理解推理思路的基礎(chǔ)上，板書為幾何符號(hào)推理的格式．對(duì)頂角的性質(zhì)不難得出，放手讓學(xué)生展開討論，充分發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性，在活躍課堂氣氛的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造思維能力

　　【板書】∵∠1與∠2互補(bǔ)，∠3與∠2互補(bǔ)（鄰補(bǔ)角定義），

　　∴∠l＝∠3（同角的補(bǔ)角相等）．

　　注意：∠l與∠2互補(bǔ)不是給出的已知條件，而是分析圖形得到的；所以括號(hào)內(nèi)不填已知，而填鄰補(bǔ)角定義．

　　或?qū)懗桑骸摺?＝ 180°－∠2，∠3＝180°－∠2（鄰補(bǔ)角定義），

　　  ∴∠1＝∠3（等量代換）．

　　【教法說明】推得“對(duì)頂角相等”這個(gè)結(jié)論的過程，是課本中初次出現(xiàn)的一步推理，使學(xué)生了解推理可以寫成“∵……∴……”的形式，并且每一步都要有根據(jù)，也就是括號(hào)里填的理由．這種推理的格式以后還要逐步滲透和訓(xùn)練，現(xiàn)在不要求自己會(huì)寫推理過程，只要求學(xué)生能看明白就可以了，為以后證明打好基礎(chǔ)。

　　嘗試反饋，鞏固練習(xí)

　　投影顯示（投影片4）

　　【教法說明】本級(jí)統(tǒng)習(xí)是鞏固對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角概念的，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的識(shí)圖能力．第1題是課本第59頁練習(xí)第2題的變式，第2題是課本第59頁練習(xí)第3題和“想一想”的綜合．解決這類題目的關(guān)鍵是要善于從復(fù)雜圖形中分離出基本圖形．對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角的基本圖形是兩條直線相交，則三條直線相交的圖形應(yīng)分解為三個(gè)兩條直線交于一點(diǎn)的圖形．如：

　　為此，對(duì)頂角有 2×3＝6個(gè)，鄰補(bǔ)角的對(duì)數(shù)為 4×3＝12個(gè)．第3、4題是有關(guān)的概念的綜合訓(xùn)練，其中第4題意在區(qū)別互為補(bǔ)角和互為鄰補(bǔ)角的概念．

　　投影顯示（投影片5）

　　【教法說明】第1題是直接利用對(duì)頂角相等的性質(zhì)得出，第2、3題是結(jié)合圖形利用對(duì)頂角相等的性質(zhì)，第4題是課本59負(fù)練習(xí)第4題，是兩條直線相交的一種特殊情況，為下節(jié)課講兩直線互相垂直埋下伏筆．

　　變式訓(xùn)練，培養(yǎng)能力

　　投影顯示（投影片6）

　　學(xué)生活動(dòng)：例題比較簡(jiǎn)單，教師不做任何提示，讓學(xué)生在練習(xí)本上獨(dú)立完成解題過程，請(qǐng)一個(gè)學(xué)生板演。

　　解：∠3＝∠1＝40°（對(duì)頂角相等）．

　　∠2＝180°－40°＝140°（鄰補(bǔ)角定義）．

　　∠4＝∠2＝140°（對(duì)頂角相等）．

　　【教法說明】例題一方面鞏固了對(duì)頂角的性質(zhì)；另一方面說明幾何里的計(jì)算題，需要用到圖形的幾何性質(zhì)，因此，要有根有據(jù)地計(jì)算．例題放手讓學(xué)生自己解決，比教師單純地講解效果會(huì)更好．盡管學(xué)生書寫格式不如課本上的規(guī)范，但通過集體講評(píng)糾正后，學(xué)生印象更深刻．

　　學(xué)生活動(dòng)：讓學(xué)生把例題中∠1＝40°這個(gè)條件換成其他條件，而結(jié)論不變，自編幾道題．

　　變式1：把∠l＝40°變?yōu)椤?－∠1＝40°

　　變式 2：把∠1＝40°變?yōu)椤?是∠l的3倍

　　變式3：把∠1＝40°變?yōu)椤? ：∠2＝2：9

　　變式4：把∠1＝40°變?yōu)椤?＝平角

　　【教法說明】學(xué)生自編開放性的題目，一是活躍課堂氣氛；二是培養(yǎng)學(xué)生的開放思維能力和逆向思維能力．變式1、2、3均可建立方程或方程組求解，幾何中計(jì)算角度和線段長(zhǎng)度等問題常借助代數(shù)方程來解決．

　�。ㄋ模┛偨Y(jié)、擴(kuò)展

角的名稱

特征

性質(zhì)

相同點(diǎn)

不同點(diǎn)

對(duì)頂角

①兩條直線相交面成的角

②有一個(gè)公共頂點(diǎn)

③沒有公共邊

對(duì)頂角相等

　　都是兩直線相交而成的角，都有一個(gè)公共頂點(diǎn)，它們都是成對(duì)出現(xiàn)。

　　對(duì)頂角沒有公共邊而鄰補(bǔ)角有一條公共邊；兩條直線相交時(shí)，一個(gè)有的對(duì)頂角有一個(gè)，而一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè)。

鄰補(bǔ)角

①兩條直線相交面成的角

②有一個(gè)公共頂點(diǎn)

③有一條公共邊

鄰補(bǔ)角互補(bǔ)

　　學(xué)生活動(dòng)：表格中的結(jié)論均由學(xué)生自己口答填出．

　　【教法說明】課堂小結(jié)以提問形式，由學(xué)生自己討論，系統(tǒng)歸納總結(jié)，以便培養(yǎng)學(xué)生的概括表達(dá)能力．

　　八、布置作業(yè)

　�。ㄒ唬┍刈鲱}

　　課本第69頁習(xí)題 2.1A組第2題．

　�。ǘ�）思考題

　　課本第70頁習(xí)題2.1A組第4題

　　【教法說明】作業(yè)緊緊圍繞著對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角的概念及對(duì)頂角性質(zhì)．思考題是對(duì)頂角性質(zhì)的一個(gè)應(yīng)用實(shí)例，結(jié)合圖形可以看出，活動(dòng)指針的讀數(shù)，就是兩直線相交成一個(gè)角的度數(shù)，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)．

　�。ㄈ�）作業(yè)答案

　　 2．解：（1）∠AOD的對(duì)頂角是∠BOC，∠EOC的對(duì)頂角是∠DOF．

　�。�2）∠AOC的鄰補(bǔ)角是∠AOD和∠BOC，∠EOB的鄰補(bǔ)角是∠AOE和∠BOF.

　�。�3）∠BOD＝∠AOC＝50°（對(duì)頂角相等），∠BOC＝180°－50＝130°（鄰補(bǔ)角定義）．

　　4．應(yīng)用對(duì)頂角相等的性質(zhì)測(cè)量角．

　　九、板書設(shè)計(jì)

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